北京师范大学亚太实验学校2020-2021学年第一学期高三期中数学试卷含答案

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高中 年级 班 姓名 学号 ‎ ‎ 装 订 线 内 请 不 要 答 题 北京师范大学亚太实验学校2020-2021学年第一学期期中测试 ‎2020.11‎ ‎ 高三数学 ‎ 试卷说明: 本次考试满分150分,考试时间120分钟 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、 选择题:本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知集合，，则 ( )‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是( )‎ ‎（A）(-∞, -1] （B）[1, +∞） （C）[-1，1] （D）（-∞，-1] ∪[1，+∞）‎ ‎3. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 ( )‎ ‎（A） （B）y= （C） （D）‎ ‎4. 已知函数在区间上单调递增，那么区间可以是 ( )‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎5. 命题””的否定为 ( )‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎66．已知函数，则 ( )‎ ‎ （A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 ‎ （C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎ 7．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数，则不等式的解集是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二.填空题:本大题共5小题,每题5分,共25分，答案写在横线上.‎ ‎11. ，，三个数中最大数的是 ．‎ ‎12．函数的定义域是_____________________．‎ ‎13．已知{}是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，，‎ 则公比____，____．‎ ‎14．已知向量，，若，则___________.‎ ‎15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．‎ ‎①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；‎ ‎②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．‎ 三.解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎16（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2AD,PD⊥DA, PD⊥DC,‎底面ABCD为正方形，M、N分别为AD、PD的中点。‎ ‎（1）求证：‎PA∥平面MNC ‎（2） 求直线PB与平面MNC所成角的正弦值 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎17. （本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期； ‎ ‎（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 高中 年级 班 姓名 学号 ‎ ‎ 装 订 线 内 请 不 要 答 题 ‎18.（本小题14分）‎ 高中 年级 班 姓名 学号 ‎ 在‎∆ABC中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，‎ 求：（Ⅰ）a的值：‎ ‎（Ⅱ）和‎∆ABC的面积．‎ 条件①：；‎ 条件②：．‎ 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎ ‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎19.（本小题14分）‎ 已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a‎3‎‎=12,________,‎是否存在正整数k,使得Sk‎>2020 ?‎若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由。‎ 从（1）q=2 , (2) q=‎‎1‎‎2‎ (3) q=-2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答。‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎20．（本小题14分）‎ 已知函数f（x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）图象经过的定点坐标；‎ ‎（2）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）单调区间；‎ ‎（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎21. （本小题15分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎2020-2021学年北京师范大学亚太实验学校高三数学参考答案 一、 选择：1A 2,C 3,A 4,D 5,A,6,A,7,D,8,C.9,C,10,D 二、填空 ‎11， 12， （-1，1） 13， ‎ ‎ 14， -5 15，130，15‎ 三、解答题 ‎16‎ 解：（Ⅰ）因为分别为的中点， ‎ 所以． …………… 2分 又因为平面， …………… 3分 ‎ ‎ 所以平面． …………… 5分 ‎ ‎ （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．设，‎ 则，，，，‎ ‎，， ‎ ‎ ……………… 7分 ‎，．‎ 设平面的法向量为，则 ‎　即 ……………… 10分 令，则，．所以． ……………… 12分 设直线与平面所成角为，‎ 所以．　 　 ……………… 14分 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎ ‎ ‎17‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 所以的最小正周期为. ……..6分 ‎（2）由（1）知.‎ 因为，所以.‎ 要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.‎ 所以，即. …….12分 所以的最小值为. …….14分 ‎18．‎ ‎【详解】选择条件①（Ⅰ）‎ ‎ …….6分 ‎（Ⅱ）‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 由正弦定理得：‎ ‎ ……..10分 选择条件②（Ⅰ）‎ 正弦定理得：‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ …….14分 ‎19．解1：选择① ‎ 因为，所以． ……………… 4分 所以 公式给3分 ………………9分 令， 即． ……………… 12分 所以使得的正整数的最小值为． ……………… 14分 ‎ 解2：选择② ‎ ‎ 因为，所以． ……………… 4分 ‎． ……………… 9分 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 因为， ……………… 12分 所以不存在满足条件的正整数. ……………… 14分 ‎ 解3：选择③ ‎ 因为，所以． ……………… 4分 所以． ……………… 9分 令, 即，整理得． ……………… 12分 当为偶数时，原不等式无解；‎ 当为奇数时，原不等式等价于， ‎ 所以使得的正整数的最小值为． ……………… 14分 ‎20．解：（1）当x=1时，ln1=0，所以f（1）=4，‎ 所以函数f（x）的图象无论a为何值都经过定点（1，4）。…….4分 ‎（2）当a=1时，f（x）=（x+1）2﹣3lnx．f（1）=4，，f'（1）=1，‎ 则切线方程为y﹣4=1×（x﹣1），即y=x+3． ……8分 在x∈（0，+∞）时，如果，‎ 即时，函数f（x）单调递增；‎ 如果，‎ 即时，函数f（x）单调递减．,,,,,,,,10分 ‎（3），x＞0．‎ 当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增．f（x）min=f（1）=4，f（x）≤4不恒成立．‎ 当a＞0时，设g（x）=2x2+2x﹣3a，x＞0．‎ ‎∵g（x）的对称轴为，g（0）=﹣3a＜0，‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 ‎∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，且存在唯一x0∈（0，+∞），‎ 使得g（x0）=0．‎ ‎∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；‎ ‎∴当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）在[1，e]上的最大值f（x）max=max{f（1），f（e）}．‎ ‎∴，得（e+1）2﹣3a≤4，‎ 解得．……..14分 ‎21．解：（Ⅰ）由得．‎ 令，即，得或．‎ 又，，‎ 所以曲线的斜率为1的切线方程是与，‎ 即与．……6分 ‎（Ⅱ）令．‎ 由得．‎ 令得或．‎ 的情况如下：‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页 所以的最小值为，最大值为．‎ 故，即． …….12分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，当最小时，． …….15分。‎ 北京师范大学亚太实验学校高三期中数学试卷 第 14 页 共 8 页