高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.3 数学 归纳法

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.3 数学 归纳法

【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学 归纳法课时作业 新人教版选修 2-2 明目标、知重点 1．了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 1．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； ②(归纳递推)假设当 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立． 2．应用数学归纳法时特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． (3)步骤②的证明必须以“假设当 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件． 情境导学] 多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列 成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要 推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌 倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎 样的原理？ 探究点一 数学归纳法的原理 思考 1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？ 答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础． 思考 2 对于数列{an}，已知 a1＝1，an＋1＝ an 1＋an ，试写出 a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请 问这个结论正确吗？怎样证明？ 答 a1＝1，a2＝1 2 ，a3＝1 3 ，a4＝1 4 ， 猜想 an＝1 n (n∈N*)． 以下为证明过程： (1)当 n＝1 时，a1＝1＝1 1 ，所以结论成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时，结论成立，即 ak＝1 k ， 则当 n＝k＋1 时 ak＋1＝ ak 1＋ak (已知) ＝ 1 k 1＋1 k (代入假设) ＝ 1 k k＋1 k (变形) ＝ 1 k＋1 (目标) 即当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由(1)(2)可得，对任意的正整数 n 都有 an＝1 n 成立． 思考 3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？ 答 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题 P(n)，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设当 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法． 思考 4 用数学归纳法证明 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请 改正． 证明：(1)n＝1 时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设 n＝k 时等式成立，即 1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2， 则当 n＝k＋1 时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k＋1×[1＋2k＋1] 2 ＝(k＋1)2 等式也成立． 由(1)和(2)可知对任何 n∈N*等式都成立． 答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法， 用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明 n＝k＋1 正确时，未用到归纳假设，而用的是等 差数列求和公式． 探究点二 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋1 6 (n∈N*)． 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝12＝1， 右边＝1×1＋1×2×1＋1 6 ＝1， 等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 12＋22＋…＋k2＝kk＋12k＋1 6 ， 那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝kk＋12k＋1 6 ＋(k＋1)2 ＝kk＋12k＋1＋6k＋12 6 ＝k＋12k2＋7k＋6 6 ＝k＋1k＋22k＋3 6 ＝k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1] 6 ， 即当 n＝k＋1 时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立． 反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄 清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关．由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 跟踪训练 1 求证：1－1 2 ＋1 3 －1 4 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n ＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n (n∈N*)． 证明 当 n＝1 时，左边＝1－1 2 ＝1 2 ， 右边＝1 2 ， 所以等式成立． 假设 n＝k(k∈N*)时， 1－1 2 ＋1 3 －1 4 ＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k 成立． 那么当 n＝k＋1 时， 1－1 2 ＋1 3 －1 4 ＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k ＋ 1 2k＋1－1 － 1 2k＋1 ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋1 ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 k＋1 － 1 2k＋1 ] ＝ 1 k＋1＋1 ＋ 1 k＋1＋2 ＋…＋ 1 k＋1＋k ＋ 1 2k＋1 ， 所以 n＝k＋1 时，等式也成立． 综上所述，对于任何 n∈N*，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题 例 2 已知数列 1 1×4 ， 1 4×7 ， 1 7×10 ，…， 1 3n－23n＋1 ，…，计算 S1，S2，S3，S4，根据计算结 果，猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S1＝ 1 1×4 ＝1 4 ； S2＝1 4 ＋ 1 4×7 ＝2 7 ； S3＝2 7 ＋ 1 7×10 ＝ 3 10 ； S4＝ 3 10 ＋ 1 10×13 ＝ 4 13 . 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n 一致，分母可用项数 n 表示为 3n＋1. 于是可以猜想 Sn＝ n 3n＋1 . 下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当 n＝1 时，左边＝S1＝1 4 ， 右边＝ n 3n＋1 ＝ 1 3×1＋1 ＝1 4 ， 猜想成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时猜想成立，即 1 1×4 ＋ 1 4×7 ＋ 1 7×10 ＋…＋ 1 3k－23k＋1 ＝ k 3k＋1 ， 那么， 1 1×4 ＋ 1 4×7 ＋ 1 7×10 ＋…＋ 1 3k－23k＋1 ＋ 1 [3k＋1－2][3k＋1＋1] ＝ k 3k＋1 ＋ 1 3k＋13k＋4 ＝ 3k2＋4k＋1 3k＋13k＋4 ＝ 3k＋1k＋1 3k＋13k＋4 ＝ k＋1 3k＋1＋1 ， 所以，当 n＝k＋1 时猜想也成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任何 n∈N*都成立． 反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科 学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明， 这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想． 跟踪训练 2 数列{an}满足 Sn＝2n－an(Sn 为数列{an}的前 n 项和)，先计算数列的前 4 项，再猜 想 an，并证明． 解 由 a1＝2－a1， 得 a1＝1； 由 a1＋a2＝2×2－a2， 得 a2＝3 2 ； 由 a1＋a2＋a3＝2×3－a3， 得 a3＝7 4 ； 由 a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4， 得 a4＝15 8 . 猜想 an＝2n－1 2n－1 . 下面证明猜想正确： (1)当 n＝1 时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当 n＝k 时猜想成立， 则有 ak＝2k－1 2k－1 ， 当 n＝k＋1 时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝1 2 2(k＋1)－Sk] ＝k＋1－1 2 (2k－2k－1 2k－1 ) ＝2k＋1－1 2k＋1－1 ， 所以，当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)和(2)可知，an＝2n－1 2n－1 对任意正整数 n 都成立． 1．若命题 A(n)(n∈N*)在 n＝k(k∈N*)时命题成立，则有 n＝k＋1 时命题成立．现知命题对 n ＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( ) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于 n0 的正整数不成立，对大于或等于 n0 的正整数都成立 C．命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0 的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案 C 解析 由已知得 n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有 n＝n0＋1 时命题成立；在 n＝n0＋1 时命题成 立的前提下，又可推得 n＝(n0＋1)＋1 时命题也成立，依此类推，可知选 C. 2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝1－a2n＋2 1－a (a≠1)”．在验证 n＝1 时，左端计算所 得项为( ) A．1＋a B．1＋a＋a2 C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4 答案 C 解析 将 n＝1 代入 a2n＋1 得 a3，故选 C. 3．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当 n＝k＋1 时，1＋2 ＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋1 1－2 ＝2k＋1－1.所以当 n＝k＋1 时等式也成立．由此可知对于任何 n∈N*，等式都成立． 上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设 解析 本题在由 n＝k 成立， 证 n＝k＋1 成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符． 4．用数学归纳法证明 1＋n 2 ≤1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 2n≤1 2 ＋n(n∈N*) 证明 (1)当 n＝1 时，左式＝1＋1 2 ， 右式＝1 2 ＋1， 所以3 2 ≤1＋1 2 ≤3 2 ，命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即 1＋k 2 ≤1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 2k≤1 2 ＋k， 则当 n＝k＋1 时， 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋2k>1＋k 2 ＋2k· 1 2k＋1＝1＋k＋1 2 . 又 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋2k<1 2 ＋k＋2k·1 2k＝1 2 ＋(k＋1)， 即当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的 n∈N*都成立． 呈重点、现规律] 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1； (2)递推是关键：正确分析由 n＝k 到 n＝k＋1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明 问题的保障； (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节， 否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 一、基础过关 1．某个命题与正整数有关，如果当 n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得 n＝k＋1 时， 该命题也成立．现在已知当 n＝5 时，该命题成立，那么可推导出( ) A．当 n＝6 时命题不成立 B．当 n＝6 时命题成立 C．当 n＝4 时命题不成立 D．当 n＝4 时命题成立 答案 B 2．一个与正整数 n 有关的命题，当 n＝2 时命题成立，且由 n＝k 时命题成立可以推得 n＝k ＋2 时命题也成立，则( ) A．该命题对于 n>2 的自然数 n 都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与 k 取值无关 D．以上答案都不对 答案 B 解析 由 n＝k 时命题成立可以推出 n＝k＋2 时命题也成立．且 n＝2，故对所有的正偶数都成 立． 3．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2 n(n－3)条时，第一步验证 n 等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0 答案 C 解析 因为是证凸 n 边形，所以应先验证三角形，故选 C. 4．若 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2n＋1 (n∈N*)，则 n＝1 时 f(n)是( ) A．1 B.1 3 C．1＋1 2 ＋1 3 D．以上答案均不正确 答案 C 5．已知 f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋1 n2，则( ) A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝1 2 ＋1 3 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝1 2 ＋1 3 ＋1 4 C．f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝1 2 ＋1 3 D．f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝1 2 ＋1 3 ＋1 4 答案 D 解析 观察分母的首项为 n，最后一项为 n2，公差为 1， ∴项数为 n2－n＋1. 6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝ an 3an＋1 (n∈N*)，依次计算 a2，a3，a4，归纳推测出 an 的通项表 达式为( ) A. 2 4n－3 B. 2 6n－5 C. 2 4n＋3 D. 2 2n－1 答案 B 解析 a1＝2，a2＝2 7 ，a3＝ 2 13 ，a4＝ 2 19 ，…，可推测 an＝ 2 6n－5 ，故选 B. 7．用数学归纳法证明(1－1 3 )(1－1 4 )(1－1 5 )…(1－ 1 n＋2 )＝ 2 n＋2 (n∈N*)． 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1－1 3 ＝2 3 ，右边＝ 2 1＋2 ＝2 3 ，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即 (1－1 3 )(1－1 4 )(1－1 5 )…(1－ 1 k＋2 )＝ 2 k＋2 ， 当 n＝k＋1 时， (1－1 3 )(1－1 4 )(1－1 5 )…(1－ 1 k＋2 )·(1－ 1 k＋3 ) ＝ 2 k＋2 (1－ 1 k＋3 )＝ 2k＋2 k＋2k＋3 ＝ 2 k＋3 ＝ 2 k＋1＋2 ， 所以当 n＝k＋1 时等式也成立． 由(1)(2)可知，对于任意 n∈N*等式都成立． 二、能力提升 8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从 k 到 k ＋1 左端需要增乘的代数式为( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.2k＋1 k＋1 D.2k＋3 k＋1 答案 B 解析 n＝k＋1 时， 左端为(k＋2)(k＋3)…(k＋1)＋(k－1)]·(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋ k)·(2k＋1)·2， ∴应增乘 2(2k＋1)． 9．已知 f(n)＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 3n－1 (n∈N*)，则 f(k＋1)＝________. 答案 f(k)＋ 1 3k ＋ 1 3k＋1 ＋ 1 3k＋2 － 1 k＋1 10．证明：假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么 2＋4＋…＋2k＋ 2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当 n＝k＋1 时等式也成立．因此对于任何 n∈N*等式都成立． 以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________． 答案 缺少步骤归纳奠基 11．用数学归纳法证明 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·nn＋1 2 . 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×2 2 ＝1， 结论成立． (2)假设当 n＝k 时，结论成立． 即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·kk＋1 2 ， 那么当 n＝k＋1 时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·kk＋1 2 ＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k·(k＋1)－k＋2k＋2 2 ＝(－1)k·k＋1k＋2 2 . 即 n＝k＋1 时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立． 12．已知数列{an}的第一项 a1＝5 且 Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn 为数列{an}的前 n 项和． (1)求 a2，a3，a4，并由此猜想 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式． (1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想 an＝ 5 n＝1 5×2n－2， n≥2，n∈N* . (2)证明 ①当 n＝2 时，a2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时成立， 即 ak＝5×2k－2， 当 n＝k＋1 时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2. ＝5＋51－2k－1 1－2 ＝5×2k－1. 故 n＝k＋1 时公式也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝ 5 n＝1 5×2n－2 n≥2，n∈N* . 三、探究与拓展 13．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1－nan(n∈N*)． (1)计算 a1，a2，a3，a4； (2)猜想 an 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得 a1＝1 2 ；a2＝1 6 ；a3＝ 1 12 ；a4＝ 1 20 . (2)猜想：an＝ 1 nn＋1 . 下面用数学归纳法证明 ①当 n＝1 时，猜想显然成立． ②假设 n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即 ak＝ 1 kk＋1 . 那么，当 n＝k＋1 时 Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 即 Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1. 又 Sk＝1－kak＝ k k＋1 ， 所以 k k＋1 ＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 从而 ak＋1＝ 1 k＋1k＋2 ＝ 1 k＋1[k＋1＋1] . 即 n＝k＋1 时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．