2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省齐市地区普高联谊校高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】根据复数的乘法、除法运算法则，以及复数与所对应点的关系，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 则复数在复平面内对应的点为 故位于第一象限.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数与复平面中所对应的点，属基础题.‎ ‎2．用反证法证明命题：“若，则至少有一个大于0.”下列假设中正确的是（ ）‎ A．假设都不大于 B．假设都小于 C．假设至多有一个大于0 D．假设至少有一个小于 ‎【答案】A ‎【解析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 根据反证法的概念，可得用反证法证明命题：“若，则至少有一个大于0.”中假设应为“假设都不大于”，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证的概念的辨析，其中熟记反证法的概念，利用命题的否定，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3．（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用微积分基本定理计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4．若展开式中的二项式系数的和为128， 则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用二项式系数和为得到答案.‎ ‎【详解】‎ 展开式中的二项式系数的和为，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式系数和，属于简单题.‎ ‎5．若函数的单调递增区间为，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求导得到，根据题意得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由，由题意知，则.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数的单调性求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎6．2位运动员和她们各自的教练合影，要求每位运动员与她们的教练站一起，这4人排成一排，则不同的排法数为（ ）‎ A．10 B．8 C．12 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用捆绑法计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 利用捆绑法得到：不同的排法数.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合中的捆绑法，意在考查学生的应用能力.‎ ‎7．已知函数， ， 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】计算得到函数以4为循环，得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故，，，，周期为4，‎ 故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的周期性问题，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.‎ ‎8．已知函数在区间上的最大值为0，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求导得到，得到函数的单调区间，根据，可知，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 可知函数的增区间为，减区间为，‎ 又由，可知，得.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数的最值求参数，确定函数的单调性是解题的关键.‎ ‎9．在如图所示的规律排列的数阵中：若第行第列位置上的数记为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知数阵由数列组成，第行的的第一个数是数列的第个数，故，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 易知数阵由数列组成，第行的的第一个数是数列的第个数，‎ 即，故，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列通项的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎10．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 方程可化为，令，有，‎ 令可知函数的增区间为，减区间为、，‎ 则，，‎ 当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎11．若定义在R上的函数满足其中是的导数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过构造函数，根据导数研究该函数的单调性并利用函数单调性解不等式，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 令，‎ 有，‎ 故函数为增函数，‎ 由，‎ 不等式可化为，‎ 即，‎ 故不等式的解集为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性解不等式，难点在于构造函数 ‎，属中档题.‎ 二、填空题 ‎12．若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，有，故函数单调递增，得到大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由，，‎ ‎ 令，有，故函数单调递增， ‎ 由，有.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数单调性比较函数值大小，构造函数判断单调性是解题的关键.‎ ‎13．展开式中，的系数为_________________.‎ ‎【答案】100.‎ ‎【解析】展开式的通项为，故的系数为，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，展开式的通项为：，‎ 故的系数为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎14．已知为虚数单位，则_________________.‎ ‎【答案】0.‎ ‎【解析】，化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15．若函数没有极值点，则实数的取值范围为_________________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】求导得到，故，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由，有，可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据极值点求参数，意在考查学生对于极值点的理解和掌握.‎ ‎16．某高校大一新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团.若每个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法有_____________种.‎ ‎【答案】180.‎ ‎【解析】先计算同学甲参加“街舞俱乐部”的有种情况，再用总的情况减去甲参加的情况得到答案.‎ ‎【详解】‎ 同学甲参加“街舞俱乐部”的有种，‎ 所以同学甲不参加“街舞俱乐部”的方法数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排除组合的综合应用，利用排除法是解题的关键，意在考查学生的计算能力，理解能力和应用能力.‎ 三、解答题 ‎17．若.证明：至少有一个不小于0.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】假设均小于0，即，计算得到矛盾，得到证明.‎ ‎【详解】‎ 假设均小于0，即，则有，‎ 而，‎ 这与矛盾，所以假设不成立，故至少有一个不小于0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反证法，意在考查学生的推理能力.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的直线方程．‎ ‎【答案】(1) ； (2) 或．‎ ‎【解析】（１） 根据题意，先对函数进行求导，再求函数在点处的导数即切线斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可。‎ ‎（２） 设切点坐标为，将代入得出，利用点斜式表达出直线方程，再将点代入直线方程，即可求解出，从而推得直线方程的解析式。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，，‎ 则曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（2）设切点的坐标为，‎ 则所求切线方程为 ‎ 代入点的坐标得，‎ 解得或 ‎ 当时，所求直线方程为 由（1）知过点且与曲线相切的直线方程为或．‎ 故答案为或。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程。若已知曲线过点，求曲线过点的切线方程，则需分点是切点和不是切点两种情况求解。‎ ‎19．已知函数，当时，函数有极值1.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若关于x的方程有一个实数根，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）根据，可得可得结果.‎ ‎（2）根据等价转换的思想，可得，利用导数研究函数的单调性，并比较的极值与的大小关系，可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，‎ 有，‎ 又有，‎ 解得：，， ‎ 故函数的解析式 为 ‎ ‎（2）由（1）有可知：‎ 故函数的增区间为，，‎ 减区间为，‎ 所以的极小值为，‎ 极大值为 由关于x的方程有一个实数根，‎ 等价于方程有一个实数根，‎ 即等价于函数的图像只有一个交点 实数m的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据极值求函数的解析式，还考查了方程的根与函数图像交点的等价转换，属基础题.‎ ‎20．已知数列满足：，‎ ‎（1）求，并猜想的通项公式(不用证明).‎ ‎（2）若数列的前项和为，当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）计算得到，得到. ‎ ‎（2），故，化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得 ‎，故. ‎ ‎（2），‎ 所以时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎21．已知函数 .‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）令，求导得到函数的增区间为，减区间为，故，得到证明.‎ ‎（2），讨论和两种情况，计算函数的单调区间得到，解得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令， 有，令可得，‎ 故函数的增区间为，减区间为 ，， 故有.‎ ‎（2）由 ‎①当时，，此时函数的减区间为，没有增区间；‎ ‎② 当时，令可得，‎ 此时函数的增区间为，减区间为.‎ 若函数有两个零点，必须且，可得，‎ 此时，‎ 又由，‎ 当时，由(1)有， 取时，‎ 显然有，当时，‎ 故函数有两个零点时，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数证明不等式，根据零点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎22．已知函数的导函数为偶函数，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，请判断函数的单调性；‎ ‎（3）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1），根据导函数为偶函数和得到，解得答案.‎ ‎（2），得到函数单调递增.‎ ‎（3），讨论，函数单调递增，没有极值点，当时，函数有两个极值点，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由，又由导函数为偶函数，‎ 可知，整理为：解方程组，得.‎ ‎(2)，可得此时函数的增区间为.‎ ‎(3)‎ ‎①当时，由，‎ 此时函数单调递增，没有极值点.‎ ‎②当时， ‎ 由，，故此时函数有两个极值点，‎ 由上知实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，根据函数极值点求参数，综合性强，计算量大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎