高中数学人教a版选修2-3练习：2-2-2事件的相互独立性word版含解析

高中数学人教a版选修2-3练习：2-2-2事件的相互独立性word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．有以下三个问题： ①掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数”，事件 N：“出现的点 数为偶数”； ②袋中有 3 白、2 黑，5 个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 M： “第 1 次摸到白球”，事件 N：“第 2 次摸到白球”； ③分别抛掷 2 枚相同的硬币，事件 M：“第 1 枚为正面”，事件 N：“两枚 结果相同”． 这三个问题中，M，N 是相互独立事件的有( ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【解析】 ①中，M，N 是互斥事件；②中，P(M)＝3 5 ， P(N)＝1 2.即事件 M 的结果对事件 N 的结果有影响，所以 M，N 不是相互独 立事件；③中，P(M)＝1 2 ， P(N)＝1 2 ，P(MN)＝1 4 ，P(MN)＝P(M)P(N)，因此 M，N 是相互独立事件． 【答案】 C 2．(2016·东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3 ，从乙袋中摸出一个红 球的概率是1 2 ，从两袋各摸出一个球，则2 3 表示( ) A．2 个球不都是红球的概率 B．2 个球都是红球的概率 C．至少有 1 个红球的概率 D．2 个球中恰有 1 个红球的概率 【解析】 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件 A，B，则 P(A)＝1 3 ， P(B)＝1 2 ，由于 A，B 相互独立，所以 1－P( A )P( B )＝1－2 3 ×1 2 ＝2 3.根据互斥事 件可知 C 正确． 【答案】 C 3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军， 乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概 率为( ) A.3 4 B.2 3 C.3 5 D.1 2 【解析】 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率 P1＝1 2 ；第二类， 需比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率 P2＝1 2 ×1 2 ＝1 4.故甲队获得冠军的 概率为 P1＋P2＝3 4. 【答案】 A 4.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时， 均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍， 如图 222 所示．假设现在青蛙在 A 叶上，则跳三次之后停在 A 叶上的概率是 ( ) 图 222 A.1 3 B.2 9 C.4 9 D. 8 27 【解析】 青蛙跳三次要回到 A 只有两条途径： 第一条：按 A→B→C→A， P1＝2 3 ×2 3 ×2 3 ＝ 8 27 ； 第二条，按 A→C→B→A， P2＝1 3 ×1 3 ×1 3 ＝ 1 27. 所以跳三次之后停在 A 叶上的概率为 P＝P1＋P2＝ 8 27 ＋ 1 27 ＝1 3. 【答案】 A 5．如图 223 所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会 均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( ) 图 223 A.4 9 B.2 9 C.2 3 D.1 3 【解析】 “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件 A，则 P(A)＝4 6 ＝2 3 ，“右 边圆盘指针落在奇数区域”记为事件 B，则 P(B)＝2 3 ，事件 A，B 相互独立，所 以两个指针同时落在奇数区域的概率为2 3 ×2 3 ＝4 9 ，故选 A. 【答案】 A 二、填空题 6．(2016·铜陵质检)在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型，在乙盒内的 240 个螺母中有 180 个是 A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成 A 型螺栓 的概率为________． 【解析】 “从 200 个螺杆中，任取一个是 A 型”记为事件 B.“从 240 个螺母中任取一个是 A 型”记为事件 C，则 P(B)＝C1160 C1200 ，P(C)＝C1180 C1240 . ∴P(A)＝P(BC)＝P(B)·P(C)＝C1160 C1200 ·C1180 C1240 ＝3 5. 【答案】 3 5 7．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为1 5 ，1 3 ，1 4 ，假设他 们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________. 【导学号： 97270041】 【解析】 用 A，B，C 分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则 P(A) ＝1 5 ，P(B)＝1 3 ，P(C)＝1 4 ， 且 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C )＝4 5 ×2 3 ×3 4 ＝2 5. 所以此密码被破译的概率为 1－2 5 ＝3 5. 【答案】 3 5 8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源， 大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫 星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是 ________． 【解析】 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件 A，B，C，不准确记为 A ， B ，C ， 则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P( A )＝0.2， P( B )＝0.3，P( C )＝0.1， 至少两颗预报准确的事件有 AB C ，A B C， A BC，ABC，这四个事件两两 互斥且独立． 所以至少两颗预报准确的概率为 P＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＋P(ABC) ＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9 ＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. 【答案】 0.902 三、解答题 9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险 的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 【解】 记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险； B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种； D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买； E 表示事件：该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝ C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384. 10．某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位游客游览这 3 个景点的概率分 别是 0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市 时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列． 【解】 设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件 A1，A2，A3，已知 A1， A2，A3 相互独立，且 P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可 能取值为 0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为 3,2,1,0，所以ξ的可 能取值为 1,3. 则 P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P( A 1· A 2· A 3) ＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P( A 1)·P( A 2)·P( A 3) ＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24. P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76. 所以分布列为： ξ 1 3 P 0.76 0.24 [能力提升] 1．设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，则事件 A 发生的概率 P(A)是( ) A.2 9 B. 1 18 C.1 3 D.2 3 【解析】 由 P(A B )＝P(B A )，得 P(A)P( B )＝P(B)·P( A )，即 P(A)[1－ P(B)]＝P(B)[1－P(A)]， ∴P(A)＝P(B)．又 P( A B )＝1 9 ， ∴P( A )＝P( B )＝1 3 ，∴P(A)＝2 3. 【答案】 D 2.三个元件 T1，T2，T3 正常工作的概率分别为1 2 ，3 4 ，3 4 ，且是互相独立的．将 它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图 224 的电路中， 电路不发生故障的概率是( ) 图 224 A.15 32 B. 9 32 C. 7 32 D.17 32 【解析】 记“三个元件 T1，T2，T3 正常工作”分别为事件 A1，A2，A3，则 P(A1)＝1 2 ，P(A2)＝3 4 ，P(A3)＝3 4. 不发生故障的事件为(A2∪A3)A1， ∴不发生故障的概率为 P＝P[(A2∪A3)A1] ＝[1－P( A 2)·P( A 3)]·P(A1) ＝ 1－1 4 ×1 4 ×1 2 ＝15 32.故选 A. 【答案】 A 3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租 车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小 时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车 点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1 4 ，1 2 ，两 小时以上且不超过三小时还车的概率分别是1 2 ，1 4 ，两人租车时间都不会超过四小 时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________. 【导学号：97270042】 【解析】 由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率 分别为1 4 ，1 4 ，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则 P(A)＝1 4 ×1 2 ＋1 2 ×1 4 ＋ 1 4 ×1 4 ＝ 5 16. 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 5 16. 【答案】 5 16 4．在一段线路中并联着 3 个自动控制的开关，只要其中 1 个开关能够闭合， 线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算 在这段时间内线路正常工作的概率． 【解】 如图所示，分别记这段时间内开关 JA，JB，JC 能够闭合为事件 A， B，C. 由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独 立事件的概率乘法公式，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 P(A － B － C － )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7) ＝0.027. 于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是 1－P(A － B － C － )＝1－0.027＝0.973.即在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.