【数学】2018届一轮复习人教A版第一章第4讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第4讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
, [学生用书P10])
1．简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．
(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
(2)全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，¬p(x0)
∀x∈M，¬p(x)
1．注意两类特殊命题的否定
(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．
2．含逻辑联结词命题真假的判断方法
(1)p∧q中一假即假．
(2)p∨q中一真必真．
(3)¬p真，p假；¬p 假，p真．
1．若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q同真同假
[答案] B
2. 命题p：∀x∈N，x2>x3的否定是( )
A．∃x0∈N，x>x
B．∀x∈N，x2≤x3
C．∃x0∈N，x≤x
D．∀x∈N，x2
0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．
[解析] 因为对任意实数x，|sin x|≤1，而sin x0＝>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，
所以q为真．故②③正确．
[答案] ②③
全称命题、特称命题(高频考点)[学生用书P11]
全称命题与特称命题是高考的常考内容，多与其他数学知识相结合命题，以选择题、填空题的形式出现．
高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：
(1)判断全称命题、特称命题的真假性；
(2)全称命题、特称命题的否定．
[典例引领]
(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
(2)下列命题中的假命题为( )
A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin＝1
【解析】 (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.
(2)对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝时，ln＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin＝1，故选项D为真命题．综上知选B.
【答案】 (1)C (2)B
(1)全、特称命题的真假判断方法
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．
(2)全称命题与特称命题的否定
一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[题点通关]
角度一 判断全称命题、特称命题的真假性
1．有下列四个命题，其中真命题是( )
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R，m20，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
【解】 因为函数y＝cx在R上单调递减，
所以00且c≠1，
所以¬p：c>1.
又因为f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，
所以c≤，即q：00且c≠1，
所以¬q：c>且c≠1.
又因为“p或q”为真，“p且q”为假，
所以p真q假或p假q真．
①当p真，q假时，
{c|01}∩＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是.
解答本题时运用了分类讨论思想，由条件可知p、q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两类讨论，分别求解，最后将解合并，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．
(2017·广州海珠区摸底考试)命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4] B．[0，4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [解析] 因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题¬p：∃x0∈R，ax＋ax0＋1<0，则a<0或解得a<0或a>4.
, [学生用书P301(独立成册)])
1．(2017·辽宁东北育才学校模拟)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则¬p为( )
A．∀x∈R，ex－x－1<0
B．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0
C．∃x0∈R，ex0－x0－1<0
D．∀x∈R，ex－x－1≤0
B [解析] 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则¬p：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0.故选B.
2．命题“∃x0∈R，x－2x0＋1<0”的否定是( )
A．∃x0∈R，x－2x0＋1≥0
B．∃x0∈R，x－2x0＋1>0
C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0
D．∀x∈R，x2－2x＋1<0
C [解析] 原命题是特称命题，“∃”的否定是“∀”，“<”的否定是“≥”，因此该命题的否定是“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”．
3．设非空集合A，B满足A⊆B，则以下表述一定正确的是( )
A．∃x0∈A，x0∉B B．∀x∈A，x∈B
C．∀x∈B，x∉A D．∀x∈B，x∈A
B [解析] 根据集合之间的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确．
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
B [解析] A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
5．下列命题中的假命题是( )
A．∃x0∈R，lg x0＝0
B．∃x0∈R，tan x0＝
C．∀x∈R，x3>0
D．∀x∈R，2x>0
C [解析] 当x＝1时，lg x＝0，故命题“∃x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝时，tan x＝，故命题“∃x0∈R，tan x0＝”是真命题；由于x＝－1时，x3<0，故命题“∀x∈R，x3>0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R，2x>0，故命题“∀x∈R，2x>0”是真命题．
6．(2017·西安质量检测)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
B [解析] 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
7．已知命题p：∀x∈R，2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)
B [解析] 对于命题p，当x＝－1时，2－1＝>＝3－1，所以是假命题，故¬p是真命题；对于命题q，设f(x)＝x3＋x2－1，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，所以f(x)＝0在区间(0，1)上有解，即存在x∈R，使x3＝1－x2，故命题q是真命题．
综上，(¬p)∧q为真命题，故选B.
8．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
C [解析] 当x＞y时，－x＜－y，故命题p为真命题，从而¬p为假命题．
当x＞y时，x2＞y2不一定成立，故命题q为假命题，从而¬q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(¬q)为真命题；④(¬p)∨q为假命题．故选C.
9．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，3]
B．(－1，3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D [解析] 因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3，故选D.
10．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则( )
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p∨q为假
D [解析] 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．因此选D.
11．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则00恒成立，则m＝0或则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.
12．下列结论中错误的是( )
A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题
B．命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1；命题q：∃x0∈R，x＋x0＋1＜0，则p∨q为真
C．“若am2＞bm2(m∈R)，则a＞b”的逆命题为真命题
D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题
C [解析] 因为命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题，所以选项A正确；因为命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1是真命题，命题q：∃x0∈R，x＋x0＋1＜0是假命题，则p∨q为真命题，所以选项B正确；因为当m＝0时，am2＝bm2，所以“若am2＞bm2(m∈R)，则a＞b”的逆命题为假命题，所以选项C错误；易知D正确．故选C.
13．命题“∃x0∈，tan x0>sin x0”的否定是________．
[答案] ∀x∈，tan x≤sin x
14．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
[解析] 由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
[答案] 1
15．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________．
[解析] 由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤
－2或a≥1，所以a≤－2.
[答案] (－∞，－2]
16．下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为________．
[解析] ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧(¬q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．
所以正确结论的序号为①③.
[答案] ①③
17．(2017·河南开封模拟)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是________．
[解析] 因为y＝在R上是增函数，即y＝>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)≤，所以命题p2是假命题，¬p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(¬p2)是真命题．
[答案] q1，q4
18．已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：函数y＝且y>1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
[解] 若p是真命题，则01恒成立，
即y的最小值大于1，
而y的最小值为2a，只需2a>1，
所以a>，
所以q为真命题时，a>.
又因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p与q一真一假，
若p真q假，
则0满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解] (1)由g(1)＝0，f()＝2－可得a＝－1，b＝1，
故f(x)＝－x(x≥0)，
由于f(x)＝在[0，＋∞)上递减，
所以f(x)的值域为(0，1]．
(2)存在．因为f(x)在[0，＋∞)上递减，
故p真⇒m2－m>3m－4≥0⇒m≥且m≠2；
又f＝，
即g＝，
故q真⇒0<<⇒1
查看更多
