【数学】2020届一轮复习人教A版第59课复数的几何意义学案（江苏专用）
第59课 复数的几何意义
1. 了解复数的几何意义.
2. 了解复数代数形式的加法与减法的几何意义.
1. 阅读：选修22 第120～122页.
2. 解悟：①复平面；②复平面也称为高斯平面，解析几何中的坐标平面也称为笛卡尔平面；③z，z与|z|之间有什么关系？④复数的向量形式是它的几何意义之一，通过向量加法的平行四边形法则，体会向量加法与复数加法法则的一致性，由向量加法的坐标表示进一步理解复数加法法则规定的合理性.
3. 践习：在教材空白处，完成第124页习题第1、2、3、7、8题
基础诊断
1. 满足|z|＝2的复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.
解析：设z＝a＋bi，所以|z|＝＝2，即a2＋b2＝4，所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.
2. 已知复数z1＝2＋ai，z2＝2－i，若|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是 (－1，1) .
解析：由题意得<，即4＋a2<5，解得－1
0，y>0，所以z＝1＋i.
(2) 由题意得，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1－i.
如图所示，A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以＝(1，－1)，＝(1，－3)，
所以cos∠ABC＝＝＝.
在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为 2 .
解析：由题意得所对应的点分别为(－3，1)，(1，－1)，所以距离为＝＝2.
考向❷ 复数与最值
例2 设z是虚数，ω＝z＋，且－1<ω<2，u＝.求ω－u2的最小值.
解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R，b≠0)，
则ω＝a＋bi＋＝＋(b－)i.
由－1<ω<2知ω是实数，所以b－＝0.
又b≠0，所以a2＋b2＝1，所以ω＝2a.
因为－1<ω<2，所以－0，所以ω－u2≥2×2－3＝1，当且仅当a＋1＝，即a＝0时，ω－u2取得最小值1.
已知复数z＝(2－i)(1＋3i)，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第
象限.
解析：由题意得，z＝(2－i)(1＋3i)＝2＋6i－i－3i2＝5＋5i，所以复数z在复平面上对应的点位于第一象限.
考向❸ 轨迹问题
例3 已知复数z＝x＋yi(i为虚单位x，y∈R)，且满足|z－3＋4i|＝1.
(1) 求复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程；
(2) 求|z－2－2i|的最值；
(3) 求的取值范围.
解析：(1) 由题意得|x－3＋(y＋4)i|＝1，
所以点z的轨迹方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝1.
(2) 由题意得|z－2－2i|＝表示圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1上的点与定点(2，2)间的距离，
所以|z－2－2i|min＝－1＝－1，
|z－2－2i|max＝＋1＝＋1.
(3) 由表示圆上的点与点(0，－3)连线的斜率，设＝k，即kx－y－3＝0.
由≤1得4k2＋3k≤0，所以－≤k≤0.
故的取值范围是.
自测反馈
1. 如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝－2－i.
解析：由题意可知，z1＝－1＋2i，z2＝z1i，所以z2＝(－1＋2i)i＝－2－i.
2. 若复数(a－2)＋i(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝ 2 .
解析：由题意得a－2＝0，解得a＝2，所以实数a的值为2.
3. 设i是虚数单位，则复数的模为 .
解析：由题意得，＝＝＋i，所以＝＝.
4. 已知复数z＝(1＋i)(1－2i)(i为虚数单位)，则z的实部为 3 .
解析：由题意得，z＝(1＋i)(2－2i)＝3－i，所以z的实部为3.
1. 复数z＝a＋bi(a∈R，b∈R)与复平面内点Z(a，b)及向量＝(a，b)是一一对应的；注意与向量一一对应时，向量的起点为原点.
2. z·z＝|z|2＝|z|2是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中要注意加以运用.
3. 你还有哪些体悟，写下来：
