2018届二轮复习2-3函数的奇偶性与周期性课件（全国通用）
2
.
3
函数的奇偶性与周期性
-
2
-
-
3
-
知识梳理
考点自测
1
.
函数的奇偶性
f
(
-x
)
=
f
(
x
)
y
轴
f
(
-x
)
=-
f
(
x
)
原点
-
4
-
知识梳理
考点自测
2
.
函数的周期性
(1)
周期函数
:
T
为函数
f
(
x
)
的一个周期
,
则需满足条件
:
①
T
≠0;
②
对定义域内的任意
x
都成立
.
(2)
最小正周期
:
如果在周期函数
f
(
x
)
的所有周期中存在一个
,
那么这个
就叫做
f
(
x
)
的最小正周期
.
(3)
周期不唯一
:
若
T
是函数
y=
f
(
x
)(
x
∈
R
)
的一个周期
,
则
nT
(
n
∈
Z
,
且
n
≠0)
也是函数
f
(
x
)
的周期
,
即
f
(
x+nT
)
=
f
(
x
)
.
f
(
x+T
)
=
f
(
x
)
最小的正数
最小的正数
-
5
-
知识梳理
考点自测
1
.
函数奇偶性的四个重要结论
(1)
如果一个奇函数
f
(
x
)
在原点处有定义
,
即
f
(0)
有意义
,
那么一定有
f
(0)
=
0
.
(2)
如果函数
f
(
x
)
是偶函数
,
那么
f
(
x
)
=
f
(
|x
|
)
.
(3)
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性
;
偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性
.
(4)
在公共定义域内有
:
奇
±
奇
=
奇
,
偶
±
偶
=
偶
,
奇
×
奇
=
偶
,
偶
×
偶
=
偶
,
奇
×
偶
=
奇
.
-
6
-
知识梳理
考点自测
2
.
周期性的几个常用结论
对
f
(
x
)
定义域内任一自变量的值
x
(
其中
a>
0,
且为常数
):
3
.
对称性的四个常用结论
(1)
若函数
y=
f
(
x+a
)
是偶函数
,
即
f
(
a-x
)
=
f
(
a+x
),
则函数
y=
f
(
x
)
的图象关于直线
x=a
对称
;
-
7
-
知识梳理
考点自测
-
8
-
知识梳理
考点自测
1
.
判断下列结论是否正确
,
正确的画
“
√
”,
错误的画
“
×
”
.
(1)
函数
y=x
2
在区间
(0,
+∞
)
内是偶函数
.
(
)
(2)
若函数
f
(
x
)
为奇函数
,
则一定有
f
(0)
=
0
.
(
)
(3)
若函数
y=
f
(
x+a
)
是偶函数
,
则函数
y=
f
(
x
)
的图象关于直线
x=a
对称
;
若函数
y=
f
(
x+b
)
是奇函数
,
则函数
y=
f
(
x
)
的图象关于点
(
b
,0)
中心对称
.
(
)
(4)
如果函数
f
(
x
),
g
(
x
)
是定义域相同的偶函数
,
那么
F
(
x
)
=
f
(
x
)
+g
(
x
)
是偶函数
.
(
)
(5)
已知函数
y=
f
(
x
)
是定义在
R
上的偶函数
,
若在
(
-∞
,
内
f
(
x
)
是减函数
,
则在
(0,
+∞
)
内
f
(
x
)
是增函数
.
(
)
(6)
若
T
为
y=
f
(
x
)
的一个周期
,
则
nT
(
n
∈
Z
)
是函数
f
(
x
)
的周期
.
(
)
×
√
×
√
√
×
-
9
-
知识梳理
考点自测
D
解析
:
由题意知
f
(
x
)
的定义域为
(
-∞
,0)
∪
(0,
+∞
),
且在区间
(0,
+∞
)
内为减函数
,
∴
f
(
x
)
为偶函数
,
即
f
(
x
)
的图象关于
y
轴对称
,
故选
D
.
-
10
-
知识梳理
考点自测
3
.
(
教材习题改编
P
39
A
组
T
6
)
已知函数
f
(
x
)
是定义在
R
上的奇函数
,
当
x
≥
0
时
,
f
(
x
)
=x
(1
+x
),
则当
x<
0
时
,
f
(
x
)
的解析式为
(
)
A.
f
(
x
)
=x
(1
+x
)
B.
f
(
x
)
=x
(1
-x
)
C.
f
(
x
)
=-x
(1
+x
)
D.
f
(
x
)
=x
(
x-
1)
B
解析
:
(
方法一
)
由题意得
f
(2)
=
2
×
(1
+
2)
=
6
.
∵
函数
f
(
x
)
是定义在
R
上的奇函数
,
∴
f
(
-
2)
=-
6
.
经验证
,
仅有
f
(
x
)
=x
(1
-x
)
时
,
f
(
-
2)
=-
6
.
故选
B
.
(
方法二
)
当
x<
0
时
,
-x>
0,
∴
f
(
-x
)
=-x
[1
+
(
-x
)]
.
又
f
(
x
)
为奇函数
,
∴
f
(
-x
)
=-
f
(
x
)
.
∴
-
f
(
x
)
=-x
(1
-x
),
∴
f
(
x
)
=x
(1
-x
),
故选
B
.
-
11
-
知识梳理
考点自测
4
.
(
教材习题改编
P
39
B
组
T
3
)
已知函数
f
(
x
)
是奇函数
,
在区间
(0,
+∞
)
内是减函数
,
且在区间
[
a
,
b
](
a
0
时
,
-x<
0,
此时
f
(
x
)
=-x
2
+
2
x+
1,
f
(
-x
)
=x
2
-
2
x-
1
=-
f
(
x
);
当
x<
0
时
,
-x>
0,
此时
f
(
x
)
=x
2
+
2
x-
1,
f
(
-x
)
=-x
2
-
2
x+
1
=-
f
(
x
)
.
故对于
x
∈
(
-∞
,0)
∪
(0,
+∞
),
均有
f
(
-x
)
=-
f
(
x
),
即函数
f
(
x
)
是奇函数
.
-
15
-
考点一
考点二
考点三
考点四
思考
判断函数的奇偶性要注意什么
?
解题心得
判断函数的奇偶性要注意两点
:
(1)
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
.
(2)
判断关系式
f
(
x
)
+f
(
-x
)
=
0(
奇函数
)
或
f
(
x
)
-f
(
-x
)
=
0(
偶函数
)
是否成立
.
-
16
-
考点一
考点二
考点三
考点四
对点训练
1
判断下列函数的奇偶性
:
-
17
-
考点一
考点二
考点三
考点四
解
(1)
由题意知函数
f
(
x
)
的定义域为
R
,
关于原点对称
.
因为
f
(
-x
)
=
(
-x
)
3
-
(
-x
)
=-x
3
+x=-
(
x
3
-x
)
=-
f
(
x
),
所以函数
f
(
x
)
为奇函数
.
(2)
由
可得函数的定义域为
(
-
1,1]
.
因为函数的定义域不关于原点对称
,
所以函数
f
(
x
)
既不是奇函数
,
也不是偶函数
.
(3)
函数的定义域为
{
x|x
≠0},
关于原点对称
.
当
x>
0
时
,
-x<
0,
此时
f
(
x
)
=-x
2
+x
,
f
(
-x
)
=
(
-x
)
2
-x=x
2
-x=-
(
-x
2
+x
)
=-
f
(
x
);
当
x<
0
时
,
-x>
0,
此时
f
(
x
)
=x
2
+x
,
f
(
-x
)
=-
(
-x
)
2
-x=-x
2
-x=-
(
x
2
+x
)
=-
f
(
x
)
.
故对于
x
∈
(
-∞
,0)
∪
(0,
+∞
),
均有
f
(
-x
)
=-
f
(
x
),
即函数
f
(
x
)
为奇函数
.
-
18
-
考点一
考点二
考点三
考点四
函数奇偶性的应用
例
2
(1)
已知
f
(
x
)
为定义在
R
上的奇函数
,
当
x
≥
0
时
,
f
(
x
)
=
2
x
+m
,
则
f
(
-
2)
=
(
)
(2)
已知
f
(
x
)
是定义在
R
上的奇函数
,
当
x
≥
0
时
,
f
(
x
)
=x
2
+
2
x
,
若
f
(2
-a
2
)
>f
(
a
),
则实数
a
的取值范围是
(
)
A.(
-∞
,
-
1)
∪
(2,
+∞
) B.(
-
1,2)
C.(
-
2,1) D.(
-∞
,
-
2)
∪
(1,
+∞
)
(3)
已知
f
(
x
)
是偶函数
,
g
(
x
)
是奇函数
,
且
,
则函数
f
(
x
)
的解析式为
;
(4)
已知函数
f
(
x
)
为奇函数
,
当
x>
0
时
,
f
(
x
)
=x
2
-x
,
则当
x<
0
时
,
函数
f
(
x
)
的最大值为
.
A
C
-
19
-
考点一
考点二
考点三
考点四
解析
:
(1)
因为
f
(
x
)
为
R
上的奇函数
,
所以
f
(0)
=
0,
即
f
(0)
=
2
0
+m=
0,
解得
m=-
1,
则
f
(
-
2)
=-f
(2)
=-
(2
2
-
1)
=-
3
.
(2)
因为
f
(
x
)
是奇函数
,
所以当
x<
0
时
,
f
(
x
)
=-x
2
+
2
x.
作出函数
f
(
x
)
的大致图象如图中实线所示
,
结合图象可知
f
(
x
)
是
R
上的增函数
,
由
f
(2
-a
2
)
>f
(
a
),
得
2
-a
2
>a
,
解得
-
2
2,
即
0
4
时
,
有
f
(
x-
2)
>
0,
故选
B
.
-
24
-
考点一
考点二
考点三
考点四
函数的周期性的应用
例
3
(1)
已知定义在
R
上的函数
f
(
x
)
满足
f
(
x+
6)
=f
(
x
),
当
-
3
≤
x<-
1
时
,
f
(
x
)
=-
(
x+
2)
2
;
当
-
1
≤
x<
3
时
,
f
(
x
)
=x
,
则
f
(1)
+f
(2)
+f
(3)
+
…
+f
(2 017)
等于
(
)
A.336 B.337 C.1 678 D.2 012
(2)
已知
f
(
x
)
是定义在
R
上的偶函数
,
并且
.
若当
2
≤
x
≤
3
时
,
f
(
x
)
=x
,
则
f
(105
.
5)
=
.
B
2.5
-
25
-
考点一
考点二
考点三
考点四
解析
:
(1)
∵
f
(
x+
6)
=f
(
x
),
∴
函数
f
(
x
)
的周期
T=
6
.
∵
当
-
3
≤
x<-
1
时
,
f
(
x
)
=-
(
x+
2)
2
;
当
-
1
≤
x<
3
时
,
f
(
x
)
=x
,
∴
f
(1)
=
1,
f
(2)
=
2,
f
(3)
=f
(
-
3)
=-
1,
f
(4)
=f
(
-
2)
=
0,
f
(5)
=f
(
-
1)
=-
1,
f
(6)
=f
(0)
=
0,
∴
f
(1)
+f
(2)
+
…
+f
(6)
=
1
.
∴
f
(1)
+f
(2)
+f
(3)
+
…
+f
(2
015)
+f
(2
016)
=
又
f
(2
017)
=f
(1)
=
1,
∴
f
(1)
+f
(2)
+f
(3)
+
…
+f
(2
017)
=
336
+
1
=
337
.
-
26
-
考点一
考点二
考点三
考点四
∴
函数
f
(
x
)
的周期为
4
.
∴
f
(105
.
5)
=f
(4
×
27
-
2
.
5)
=f
(
-
2
.
5)
=f
(2
.
5)
.
∵
2
≤
2
.
5
≤
3,
∴
f
(2
.
5)
=
2
.
5
.
∴
f
(105
.
5)
=
2
.
5
.
思考
函数周期性的主要应用是什么
?
解题心得
利用函数的周期性
,
可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题
,
转化为已知区间上的相应问题
,
再进行求解
.
-
27
-
考点一
考点二
考点三
考点四
D
2
0
-
28
-
考点一
考点二
考点三
考点四
(2)
因为
f
(
x+
2)
=-f
(
x
),
所以
f
(
x+
4)
=f
[(
x+
2)
+
2]
=-f
(
x+
2)
=-
[
-f
(
x
)]
=f
(
x
),
所以函数
f
(
x
)
的周期为
4,
所以
f
(2
018)
=f
(4
×
504
+
2)
=f
(2)
.
又
2
≤
2
≤
3,
所以
f
(2)
=
2,
即
f
(2
018)
=
2
.
-
29
-
考点一
考点二
考点三
考点四
-
30
-
考点一
考点二
考点三
考点四
函数性质的综合应用
例
4
(1)
已知函数
f
(
x
)
是定义域为
R
的偶函数
,
且
f
(
x+
1)
=-f
(
x
),
若
f
(
x
)
在
[
-
1,0]
上是减函数
,
则
f
(
x
)
在
[1,3]
上是
(
)
A.
增函数
B.
减函数
C.
先增后减的函数
D.
先减后增的函数
(2)
已知偶函数
f
(
x
)
的定义域为
R
,
当
x
∈
[0,
+∞
)
时
,
f
(
x
)
是增函数
,
则
f
(
-
2),
f
(
π
),
f
(
-
3)
的大小关系是
(
)
A.
f
(
π
)
>f
(
-
3)
>f
(
-
2) B.
f
(
π
)
>f
(
-
2)
>f
(
-
3)
C.
f
(
π
)
3
>
2,
且当
x
∈
[0,
+∞
)
时
,
f
(
x
)
是增函数
,
所以
f
(
π
)
>f
(3)
>f
(2)
.
又函数
f
(
x
)
为
R
上的偶函数
,
所以
f
(
-
3)
=f
(3),
f
(
-
2)
=f
(2),
故
f
(
π
)
>f
(
-
3)
>f
(
-
2)
.
(3)
因为
f
(
x
)
是
R
上的奇函数
,
所以
f
(0)
=
0
.
又对任意
x
∈
R
都有
f
(
x+
6)
=f
(
x
)
+f
(3),
所以当
x=-
3
时
,
有
f
(3)
=f
(
-
3)
+f
(3)
=
0,
所以
f
(
-
3)
=
0,
f
(3)
=
0,
所以
f
(
x+
6)
=f
(
x
),
周期为
6
.
故
f
(2
017)
=f
(1)
=
2
.
-
33
-
考点一
考点二
考点三
考点四
思考
解有关函数的单调性、奇偶性、周期性的综合问题的策略有哪些
?
解题心得
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
:
(1)
函数单调性与奇偶性结合
.
注意奇函数在对称区间上的单调性相同
,
偶函数在对称区间上的单调性相反
.
(2)
周期性与奇偶性结合
.
此类问题多考查求值问题
,
常利用奇偶性及周期性进行转换
,
将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解
.
(3)
周期性、奇偶性与单调性结合
.
解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间
,
再利用奇偶性和单调性求解
.
-
34
-
考点一
考点二
考点三
考点四
对点训练
4
(1)
已知
f
(
x
)
是定义在
R
上的以
3
为周期的偶函数
,
若
f
(1)
<
1,
f
(5)
=
,
则实数
a
的取值范围为
(
)
A.(
-
1,4) B.(
-
2,0) C.(
-
1,0) D.(
-
1,2)
(2)
已知定义在
R
上的奇函数
f
(
x
)
满足
f
(
x-
4)
=-f
(
x
),
且
f
(
x
)
在区间
[0,2]
上是增函数
,
则
(
)
A.
f
(
-
25)
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