2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得： ，则 .‎ 本题选择B选项.‎ ‎2．设函数，则的值为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为f(x)=，则f[f(2)]=f（1）=2,选C ‎3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非法半轴重合，终边经过点，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】角的终边与单位圆的交点为，所以， ，于是．选D.‎ ‎4．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】‎ 等价于，故推不出；‎ 由能推出。‎ 故“”是“”的必要不充分条件。‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 充要条件的三种判断方法：‎ ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；‎ ‎(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．‎ ‎5．已知，，，则的大小关系为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用利用等中间值区分各个数值的大小。‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ 故。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。‎ ‎6．抛掷两颗骰子，第一颗骰子向上的点数为x，第二颗骰子向上的点数为y，则“｜x-y︱>1”的概率为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设两次抛掷出现的点数为事件，容易知道总事件数为36，这里可先算的情况,有,‎ 以上16种情况，所以的情况有36-16=20种，解得概率为.‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式；等可能事件的概率．‎ ‎7．已知幂函数的图象经过点，、 （）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：‎ ‎①；②；③；④．‎ 其中正确结论的序号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为为幂函数，故可设，又它的图象经过点，可由得出，所以．设它在上为递增函数，若，则有，故①②中只能选择②．设它在上为递减函数，若，则有，故③④中只能选择③．因此最终正确答案为D．‎ ‎【考点】指数运算和幂函数及其性质．‎ ‎8．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下 零件数（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工时间（分钟）‎ ‎26‎ ‎ ‎ ‎49‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程，则实数的值为（ ）‎ A．37.3 B．38 C．39 D．39.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出，代入回归方程，即可得到实数的值。‎ ‎【详解】‎ 根据题意可得：,，‎ 根据回归方程过中心点可得：，解得：；‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题。‎ ‎9．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出图象及直线，借助图象分析。‎ ‎【详解】‎ 如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，‎ 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。‎ 即，即，‎ 或者，得，，即，得，‎ 所以的取值范围是。‎ 故选D。‎ ‎【点睛】‎ 根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。‎ ‎10．已知定义在上的函数满足：①对于任意的 ，都有 ；②函数是偶函数；③当时，， ，则 的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由①得 ，由②得 ，所以 因为当时，单调递增，所以，选A.‎ 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.‎ ‎11．函数 的部分图象如图所示，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据题意，由于函数 ，那么根据图像可知周期为，w=4，然后当x= ,y=2，代入解析式中得到 ， ，则可知4，故答案为A.‎ ‎【考点】三角函数图像 点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题。‎ ‎12．已知f（x）为定义在上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：令，则为定义域上的减函数，‎ 由不等式得： ‎ ‎【考点】利用导数研究函数的性质 ‎【名师点睛】本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，属中档题．解题时要确定函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．执行下面的程序框图，如果输入的是6，那么输出的是_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】通过程序框图，按照程序框图的要求将几次的循环结果写出，得到输出结果。‎ ‎【详解】‎ 经过第一次循环得到，满足再次循环，‎ 执行第二次循环得到， ，满足再次循环，‎ 执行第三次循环得到，，不满足，此时输出.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图的知识，解答本题主要需要按照程序代值计算，属于基础题。‎ ‎14．求的值域____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数在上的值域。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 设 ‎ 故在上值域等价于在上的值域 ‎，即的值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数在区间上的值域，属于中档题。‎ ‎15．在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.‎ ‎【详解】‎ 设点，则.又，‎ 当时，，‎ 点A在曲线上的切线为，‎ 即，‎ 代入点，得，‎ 即，‎ 考查函数，当时，，当时，，‎ 且，当时，单调递增，‎ 注意到，故存在唯一的实数根，此时，‎ 故点的坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 导数运算及切线的理解应注意的问题：‎ 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ ‎16．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，‎ 设长方体的长宽高为，由题意可得：‎ ‎，据此可得： ，‎ 则球的表面积： ，‎ 结合解得： .‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ 三、解答题 ‎17．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.‎ 若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？‎ 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计 注：，其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎7.879‎ ‎（2）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；‎ ‎【答案】（1）没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关；（2）60人 ‎【解析】（1）根据条形图即可完成2×2列联表，把数据代入公式计算出，与临界值比较，即可得到结论；‎ ‎（2）根据条形图计算出所抽取的100人中的优秀率，即可得到80人中优秀等级的选手人数。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条形图可知2×2列联表如下 优秀 合格 合计 大学组 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 中学组 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关. ‎ ‎（2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为.‎ 所有参赛选手中优秀等级人数约为人.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的运用，考查概率的计算，考查学生读图能力，属于基础题。‎ ‎18．已知.‎ ‎（1）当函数在上的最大值为3时，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若对任意的，函数， 的图像与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值.并求函数在上的单调递减区间.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的图像和性质求出在上的最大值，即可得到实数的值；‎ ‎（2）把的值代入中，求出的最小正周期为，根据函数在的图像与直线有且仅有两个不同的交点，可得的值为，再由正弦函数的单调区间和整体思想求出减区间，再结合的范围求出减区间。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得， ‎ 时， ‎ 的最大值为，所以；‎ 综上：函数在上的最大值为3时， ‎ ‎（2）当时， ，故的最小正周期为，‎ 由于函数在的图像与直线有且仅有两个不同的交点，‎ 故的值为.‎ 又由，可得，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴函数在上的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的图像与性质，考查学生整体的思想，属于中档题。‎ ‎19．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若∠APD=90°，四棱锥P-ABCD的体积为，求三棱锥A-PBM的高．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）三棱锥的高 ‎【解析】试题分析：（1）根据已知条件证明平面，再利用面面垂直的判定即可得证；（2）利用棱锥的体积计算公式，求得底面积与高即可求解，或利用等积变换即可求解.‎ 试题解析：（1）取的中点，连接，，，∵，∴，‎ ‎∵底面为菱形，∴，又∵，分别为，的中点，‎ ‎∴，∴，又，，∴平面，‎ 则，∴平面，又平面，∴平面平面；‎ ‎（2）法一：连接，，设，由，‎ 可得，，又底面为菱形，，‎ ‎∴，由（1）可知，平面，‎ 则，‎ ‎∴，则，可得，‎ ‎∵，∴.‎ 法二：由题得，，又∵，‎ ‎∴.‎ ‎【考点】1.面面垂直的判定与性质；2.空间几何体体积求解．‎ ‎20．已知椭圆的左焦点为，短轴的两个端点分别为A，B，且满足：，且椭圆经过点 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点M的动直线(与X轴不重合)与椭圆C相交于P，Q两点，在X轴上是否存在一定点T，无论直线如何转动，点T始终在以PQ为直径的圆上？若有，求点T的坐标，若无，说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）（2，0）‎ ‎【解析】（1）由可知，，根据椭圆过点，即可求出，由此得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，联立直线与椭圆方程，解出、两点坐标，利用向量垂直的条件可得点，当斜率存在时，设出直线的点斜式，与椭圆联立方程，得到关于的一元二次方程，写出根与系数的关系，代入 中进行化简，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由可知，，又椭圆经过点，则，由于在椭圆中 ，所以， 解得=2，所求椭圆方程为 ‎(2) 设， ，则 ，‎ ‎①当直线斜率不存在时，则直线的方程为：，‎ 联立方程 ，解得: 或，故点，；‎ 则 ，‎ 由于点始终在以为直径的圆上，则，解得：或，故点或；‎ ‎②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程中消去得,‎ 由于点始终在以为直径的圆上，‎ ‎，‎ 解得： ，故点为 综上所述;当时满足条件。所以定点为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查解析几何中的定点问题，解题的关键是把点始终在以为直径的圆上转化为向量垂直，考查学生的计算能力，属于中档题。‎ ‎21．已知函数（），其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性及极值；‎ ‎（2）若不等式在内恒成立，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.‎ ‎（2）分类讨论：当时，明显成立；‎ 当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；‎ 当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得.‎ 当，即时，，在内单调递增，没有极值.‎ 当，即时，‎ 令，得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 故当时，取得极小值 ，无极大值.‎ 综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；‎ 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.‎ ‎（2）当时，成立.‎ 当时，由（1），知在内单调递增，‎ 令为和中较小的数，‎ 所以，且，‎ 则，.‎ 所以 ，‎ 与恒成立矛盾，应舍去.‎ 当时， ，‎ 即，‎ 所以.‎ 令，‎ 则.‎ 令，得，‎ 令，得，‎ 故在区间内单调递增，‎ 在区间内单调递减.‎ 故，‎ 即当时，.‎ 所以 .‎ 所以.‎ 而，‎ 所以.‎ ‎22．已知过点的直线的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式 ，即可得到曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）由题可得，利用圆的弦长公式即可求得实数的值 ‎【详解】‎ ‎（1）消由 ‎ 直线的普通方程为 由， ‎ 曲线的直角坐标方程为 ‎（2）由于，，故 ；‎ 由于曲线的直角坐标方程为，则圆心（3,0），，所以圆心到直线的距离 ，根据垂径定理可得，即，‎ 可求得 实数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查把参数方程、极坐标方程转化为普通方程，考查向量的加减运算，圆的弦长公式，属于基础题。‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集。‎ ‎（2）若对任意时都有使得成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用，去绝对值求解即可；‎ ‎（Ⅱ）利用条件说明，通过函数的最值，列出不等式求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当时， ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）对任意时都有使得成立，‎ ‎ 等价于 ‎ ‎ 而，‎ ‎ 只需.‎