黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

哈师大附中 2018 级高二下学期期中考试数学试题 一、选择题：(本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.每题有且只有一个正确选项.)‎ 1. 甲乙和其他 2 名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，‎ 则这 4 名同学的站队方法有 A. 8 种 B. 16 种 C. 32 种 D. 64 种 n 2. 函数 y＝x+2cosx 在[0，2]上取得最大值时，x 的值为 n n n A．0 B．6 C．3 D．2‎ 3. 为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的 52 名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号,18 号,44 号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是 A.23 B.27 C.31 D.33‎ 4. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. π ‎4‎ ‎B. 1‎ ‎2‎ ‎C. 1‎ ‎4‎ ‎D. π ‎8‎ 5. 在(1 - x)( x + 2)4 的展开式中，含 x3 项的系数为 A. -16‎ ‎B.16 C. -8‎ ‎‎ D.8‎ 6. 从 1，2，3，4，5 中任取2 个不同的数，事件 A = “取到的2 个数之和为偶数”，事件 B = “取到两个数均为偶数”，则 P ( B | A) = ‎1 1 2 1‎ A． B． C． D．‎ ‎8 4 5 2‎ 7. 已知 a 是函数 f (x) = x3 -12x 的极小值点，则 a =‎ A. -4 B. -2 C.2 D.4‎ 8. 某班某天上午有五节课，需安排语文，数学，英语，物理，化学各 1 节课，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为 A.60 B.48 C.36 D.24‎ 9. 函数 y = x e x ‎的图象大致为 ‎ ‎ 1. 某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人 中所含女生人数记为h，则h的数学期望为 ‎3‎ A.3 B.2 C.‎ ‎2‎ ‎D.1‎ ‎2‎ 2. 已知 A, B 分别是双曲线 E : x a2‎ ‎y2‎ ‎3‎ - = > > .‎ b2 1(a 0, b 0) 的左右顶点，点 M 在 E 上 且 AB : BM ‎: AM ‎= 1:1:‎ ‎,则双曲线 E 的渐近线方程为 A. y = ± 3x ‎B. y = ± 1 x ‎2‎ ‎C. y = ±x ‎D. y = ± 2x 3. 已知定义在（1，+ ¥）上的函数 f (x) ， f ¢(x) 为其导函数，满足 1 f (x) + f ¢(x) ln x + 2x = 0 ，‎ x 且 f (e) = -e2 ，若不等式 f (x) £ ax 对任意 xÎ(1,+¥) 恒成立，则实数 a 的取值范围是 A. [e,+¥) ‎B. (- e2 ,2) ‎C. (- e,2) ‎D. [- e,+¥) 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13.曲线 y = sin x 在点O(0,0) 处的切线方程为 ．‎ ‎14.一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，‎ X 表示抽到的二等品件数，则 DX = ．‎ ‎15. 若（1- 2x)7 = a0 + a1x + a2 x2 +L+ a6 x6 + a7 x7 ，则 ‎（1） a0 = ；（2） a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 + 7a7 = ．‎ 16. 如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O. D,E,F为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F 重合， 得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：cm3）最大时，△ABC 的边长为 (cm).‎ 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.其中 17 题 10 分，18-22 题每小题 12 分．）‎ 16. 已知函数 f (x) = ln(x +1) + mx 2 - x.‎ ‎（1）当 m =1 时，求 f (x) 的单调区间；‎ ‎（2）当 m = 1 ,且x > 0时，求证： f (x) > 0.‎ ‎2‎ 17. 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10，9，8，7 环的概率分别为 0.5，3a，a， 0.1，乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2.‎ (1) 求ξ，η的分布列；‎ (2) 求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．‎ 18. 已知函数 y = 2x2 ，函数图象上有两动点 A( x1, y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) .‎ （1） 用 x1 表示 y = 2x2 在点 A 处的切线方程；‎ （2） 若动直线 AB 在 y 轴上的截距恒等于1，函数在 A 、 B 两点处的切线交于点 P ， 求证：点 P 的纵坐标为定值.‎ 19. 国庆 70 周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm) 在区间[165 ，175] 内．现从全体受阅女兵中随机抽取 200 人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165 ， 167) ，[167 ，169) ，[169 ，171) ，[171 ，173) ，[173 ，175] 五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为 75，最后三组的频率之和为 0.7．‎ （1） 请根据频率分布直方图估计样本的平均数 x 和方差 s2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ （2） 根据样本数据，可认为受阅女兵的身高 X (cm) 近似服从正态分布 N (m,s2 ) ，其中m近 似为样本平均数 x ，s2 近似为样本方差 s2 ．‎ ‎(i) 求 P(167.86 < X < 174.28) ；‎ ‎(ii) 若从全体受阅女兵中随机抽取 10 人，求这 10 人中至少有 1 人的身高在174.28cm 以上的概率．‎ 参考数据：‎ 若X ~ N (m,s2 )，则P (m-s< X £ m+s) =0.6827,‎ ‎115‎ P (m- 2s< X £ m+ 2s) = 0.9545,‎ ‎» 10.7 ，‎ ‎0.954510 » 0.63，0.977259 » 0.81，0.9772510 » 0.79‎ ‎21.2018 年 3 月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，‎ ‎4 月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划(2018 - 2020 年）》，提出到 ‎2020 年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者?‎ （1） 为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾 分类志愿者占男性居民的 ‎3 ，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的 1 ，若 ‎5 5‎ 研究得到在犯错误概率不超过 0.010 的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？‎ 附： k 2‎ ‎= n(ad - bc)2‎ ‎(a + b)l(+d )(a + c)(b + d )‎ ‎，其 n = a + b + c + d ．‎ P(K 2…k )‎ ‎0‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ （2） 某垃圾站的日垃圾分拣量 y （千克）与垃圾分类志愿者人数 x （人) 满足回归直线方程 yˆ = bˆx + aˆ ，数据统计如下：‎ 志愿者人数 x （人)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 日垃圾分拣量 y （千克）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎45‎ t ‎ 1 5 5 2 5‎ 已知 y = 5 å yi = 40, å xi = 90, å xi yi = 885 ． 请利用所给数据求 t 和回归直线方程 i =1‎ yˆ = bˆx + aˆ ；‎ ‎i =1‎ ‎i =1‎ n å(xi - x )( yi - y )‎ n 附： bˆ = i =1 ， aˆ = y - bˆx ．‎ i å(x - x )2‎ i =1‎ （3） 用（2）中所求的以性回归方程得到与 xi 对应的日垃圾分拣量的估计值 yˆi ．当分拣数 据 yi 与估计值 yˆi 满足| yˆi - yi | „2 时，则将分拣数据(xi ， yi ) 称为一个“正常数据”．现从 5‎ 个分拣数据中任取 3 个，记 X 表示取得“正常数据”的个数，求 X 的分布列和数学期望．‎ ‎22.已知函数f (x) = aex - ex - a(a < e),其中e为自然对数的底数.‎ （1） 若曲线 y = f (x) 在点（0，0）处的切线为 y = (1- e)x ，求 a 的值；‎ （2） 若函数 y = f (x) 的极小值为-1 ，求 a 的值；‎ ‎（3）若 a =1 ，证明：当 x ³ 0 时， f (x) + 2x - x ln(x +1) ³ 0.‎ 哈师大附中2018级高二下学期期中考试参考答案数学试题 一、 选择题：(本题共12小题，每题5分，共60分.每题有且只有一个正确选项.)‎ ‎1.甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有 A A. 8种 B. 16种 C. 32种 D. 64种 ‎2.函数y＝x+2cosx在[0，π‎2‎]上取得最大值时，x的值为B A．0 B．π‎6‎ C．π‎3‎ D．‎π‎2‎ ‎3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是C A.23 B.27 C.31 D.33‎ ‎4.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随 机取一点，则此点取自黑色部分的概率是D A． B． C． D．‎ ‎5.在的展开式中，含项的系数为A A. B.16 C. D.8‎ ‎6.从1，2，3，4，5中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则B A． B． C． D．‎ ‎7.已知是函数的极小值点，则=C A. -4 B. -2 C.2 D.4‎ ‎8.某班某天上午有五节课，需安排语文，数学，英语，物理，化学各1节课，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为D A.60 B.48 C.36 D.24‎ ‎9.函数的图象大致为 A ‎10.某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为，则的数学期望为 B A.3 B.2 C. D.1 ‎ ‎11.已知分别取双曲线的左右定点,点M在E上.‎ 且,则双曲线E的渐近线方程为C A. B. C. D.‎ 12. 已知定义在上的函数，为其导函数，满足，‎ 且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是D A. B. C. D.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为　 　．‎ ‎14.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，‎ 表示抽到的二等品件数，则____________．1.96‎ 15. 若，则 ‎（1）_______；1 （2）______．‎ ‎16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.‎ D,E,F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.‎ 沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：cm3）最大时，△ABC的边长为 (cm).‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题12分．）‎ ‎17.已知函数 ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当求证：‎ 解：‎ （1） 当时，的定义域为，，‎ （2） 当 ‎18.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.‎ ‎(1)求ξ，η的分布列；‎ ‎(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．‎ 解：(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.‎ 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为 ‎1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.‎ 所以ξ，η的分布列分别为：‎ ξ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ P ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ η ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ P ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎(2)由(1)得：‎ E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；‎ E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；‎ D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；‎ D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.‎ 由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.‎ ‎19.已知函数，函数图象上有两动点、.‎ ‎（1）用表示在点处的切线方程；‎ ‎（2）若动直线在轴上的截距恒等于，函数在、两点处的切线交于点，‎ 求证：点的纵坐标为定值.‎ 解：（1），，所以，函数在点处的切线斜率为，‎ 因此，函数在点处的切线方程为，即；‎ ‎（2）设直线的方程为，联立，得，‎ 由韦达定理得，.‎ 由于抛物线在点处的切线方程为，则该抛物线在点处的切线方程为，‎ 联立，解得，‎ 因此，点的纵坐标为（定值）.‎ ‎20.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：在区间，内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，，，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．‎ ‎（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．‎ 求；‎ 若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在以上的概率．‎ 参考数据：‎ ‎，‎ ‎．‎ 解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，‎ 故，‎ ‎；‎ ‎（2）由题知，，‎ ‎，‎ 故10人中至少有1人的身高在以上的概率为 ‎21.2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者 ‎（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？‎ 附：，其．‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（2）某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数（人满足回归直线方程，数据统计如下：‎ 志愿者人数（人 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 日垃圾分拣量（千克）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎45‎ 已知．请利用所给数据求和回归直线方程；‎ 附：，．‎ ‎（3）用（2）中所求的以性回归方程得到与对应的日垃圾分拣量的估计值．当分拣数据与估计值满足时，则将分拣数据，称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记表示取得“正常数据”的个数，求的分布列和数学期望．‎ 解：（1）设被调查的女性居民人数为，则列联表如下所示，‎ ‎ 不喜欢人数 ‎ 喜欢人数 ‎ 合计 ‎ 男 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 女 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 犯错误的概率不超过0.010，，解得，‎ 故被调查的女性居民至少有20人．‎ ‎（2）由表可知，，，．‎ ‎，，‎ 回归直线方程为．‎ ‎（3）将，，，，分别代入回归直线方程得，‎ ‎，‎ ‎，属于“正常数据”，‎ ‎，属于“正常数据”，‎ ‎，属于“正常数据”，‎ ‎，不属于“正常数据”，‎ ‎，不属于“正常数据”，‎ 随机变量的可能取值为1，2，3，‎ ‎，，，‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望．‎ ‎22.‎ （1） 若曲线在点（0，0）处的切线为，求的值；‎ （2） 若函数的极小值为，求的值；‎ ‎（3）若，证明：当时，‎ 解：‎