陕西省西安中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题
西安中学2020-2021学年度第一学期期中考试
高三数学（文）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.）
1．设z=i1+i3(i为虚数单位)，则z=( )
A. 22 B. 2 C. 12 D. 2
2．已知集合M={x∈Z|x2-2x<8}，P={1,3}，Q={0,7}，则Q∪(∁MP)=( )
A. {0,1,7} B. {-1,0,7} C. {0,1,3,7} D. {-1,0,2,7}
3．已知向量a=(t,1)，b=( 1,2).若a⊥b，则实数t的值为( )
A. -2 B. 2 C. -12 D. 12
4．已知a=log40.9，b=40.1，c=0.14，则( )
A. a
10000
男
1
2
3
6
8
女
0[来源:学,科,网]
2
10
6
2
(1)若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；
(2)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
懈怠型
总计
男
______
______
______
女
______
______
______
总计
______
______
______
附：k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
18．（12分）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=ccosB+12b．
9
(1)求角C的大小；
(2)若a+b=7，△ABC的面积等于33，求c边长．
19．（12分）已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，等差数列{bn}的公差为2d，设An，Bn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，且b1=3，A2=3，A5=B3．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
[来源:学科网ZXXK](2)设cn=bn+1an⋅an+1，数列{cn}的前n项和为Sn，证明：Sn<(n+1)2．
20.（12分）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；
(2) 已知从这5天中选2天作为检验数据，选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，计算得出y关于x的线性回归方程。若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，所求出的线性回归方程是否可靠？
(其中回归系数，)[来源:学科网]
21．（12分）已知函数f(x)=alnx．
(1)讨论函数g(x)=x-1-f(x)的单调性与极值；
(2)证明：当a=1且x∈[1,+∞)时，不等式(x+1)f(x)≥2(x-1)恒成立．
（二） 选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
9
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=22cos(θ+π4)，直线l的参数方程为x=ty=-1+t，(t为参数)，直线l和圆C交于A、B两点，P是圆C上异于A、B的任意一点．
(1)求圆C的参数方程；
(2)求△PAB面积的最大值．
23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f(x)=|x-14|+|x+14|，M为不等式f(x)≤2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，21-ab≥a-b．
9
西安中学2020-2021学年度第一学期期中考试
高三数学（文）答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
B
D
A
B
A
题号
9
10
11
12
答案
C
A
B
A
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将正确答案填写在答题纸相应位置.）
13．2x-y+1=0 14． 8
15． 1023 16． ①④
三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.)
（一）必考题：共60分.
17．（12分）解：(1)由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为3540，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为78；（4分）
(2)
积极型
懈怠型
总计
男
14
6
20
女
8
12[来源:学科网]
20
总计
22
18
40
（8分）
K2=40(14×12-6×8)220×20×22×18=4011<3.841，故没有95%以上的把握认为二者有关．（12分）
18．（12分）解：(1)∵a=ccosB+12b，
∴a=c⋅a2+c2-b22ac+12b，整理可得：a2+b2-c2=ab，（2分）
∴cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，∵C∈(0,π)，∴C=π3． （6分）
9
(2)∵C=π3，△ABC的面积等于33=12absinC=34ab，∴ab=12，（8分）
∵a+b=7，∴由余弦定理c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=49-3×12=13，
可得c=13．（12分）
19．（12分）解：(1)因为数列{an}，{bn}是等差数列，且A2=3，A5=B3，
所以2a1+d=3，5a1+10d=9+6d．解得a1=d=1，（2分）
所以an=a1+(n-1)⋅d=n，即an=n，（4分）
bn=b1+(n-1)⋅2d=2n+1，即bn=2n+1．综上an=n，bn=2n+1．（6分）
(2)证明：由(1)得cn=2n+1+1n⋅(n+1)=2n+1+(1n-1n+1)，（8分）
所以Sn=(3+5+…+2n+1)+[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]，
即Sn=n2+2n+1-1n+1=(n+1)2-1n+1<(n+1)2．（12分）
20.（12分）解：(1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．（2分）
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个．所以P(A)＝.（4分）
(2)由数据得，另3天的平均数＝12，＝27,3 ＝972,32＝432，
iyi＝977，＝434，（8分）
所以b＝＝，a＝27－×12＝－3，
所以y关于x的线性回归方程为y＝x－3. （10分）
依题意得，当x＝10时，y＝22，|22－23|<2；当x＝8时，y＝17，|17－16|<2，
所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．（12分）
21．（12分）解：(1)g(x)=x-1-f(x)=x-1-alnx，(x>0)，
g'(x)=1-ax=x-ax，（2分）
当a≤0时，g'(x)>0，函数g(x)在(0,+∞)递增，函数g(x)无极值；
当a>0时，令g'(x)>0，解得：x>a，令g'(x)<0，解得：x
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