河南省郑州市实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

河南省郑州市实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

河南省实验中学2019——2020学年上期期中试卷高二数学（理）‎ 一、选择题 ‎1.在中，角,,的对边分别为,,，若，则　‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理化简即可求解．‎ ‎【详解】解：，‎ 由正弦定理可得：，‎ 解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎2.已知，，，，则下列结论中必然成立的是　　‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质及特殊值对选项一一分析即可。‎ 详解】解：．与的大小关系不确定；‎ ‎．取，，，，满足，，则不成立．‎ ‎．取，，不成立；‎ ‎．，，则，正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3.设等差数列的前项和为，若，则等于　　‎ A. 18 B. 36 C. 45 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前项和公式求得的值.‎ ‎【详解】由于数列是等差数列，所以由得，即，而.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前项和公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎4.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式表示为，得出，再解该不等式可得出解集.‎ ‎【详解】将原不等式表示为，解得，解该不等式可得或.‎ 因此，不等式的解集为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎5.为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路两点进行测量.在点测得塔底在南偏西，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进10米到 点，测得塔顶的仰角为，则塔的高度为 A. 5米 B. 10米 C. 15米 D. 20米 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出塔高为h，画出几何图形，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出h的值．‎ ‎【详解】如图所示：‎ 设塔高为AB＝h，‎ 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，‎ 则BC＝AB＝h；‎ 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BDh；‎ 在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝10，‎ 由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，‎ 即（h）2＝h2+102﹣2h×10×cos120°，‎ ‎∴h2﹣5h﹣50＝0，解得h＝10或h＝﹣5（舍去）；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了将实际问题转化为解三角形的应用问题，是中档题．‎ ‎6.在各项均为正数的等比数列中，，则　　‎ A. 有最小值3 B. 有最小值6 C. 有最大值6 D. 有最大值9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用等比数列的性质与基本不等式，求得结论．‎ ‎【详解】解：在各项均为正数的等比数列中，，则 当且仅当时，取等号。‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质与基本不等式的灵活运用，属于基础题．‎ ‎7.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是　　‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图形，平移直线，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．‎ ‎【详解】如图，作直线，当直线上移与圆相切时，取最大值，‎ 此时，圆心到直线的距离等于1，即，‎ 解得的最大值为：，‎ 当下移与圆相切时，取最小值，‎ 同理，即的最小值为：，‎ 所以．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎8.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据等比中项得出 ，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项代入用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】因，且等比数列各项均为正数，所以 ‎ 公比首项 ‎ 所以 ，通项 ‎ 所以 ‎ 当且仅当 所以当时，的最小值为8‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.‎ ‎9.设等差数列的前项和，且满足,对任意正整数，都有，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列求和公式及性质，可得，所以 ‎，同理可得，所以，所以 ‎，对任意正整数，都有，则，故选D.‎ 考点：等差数列的求和公式.‎ ‎10.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，则（ ）‎ A. A的最大值为 B. A的最小值为 C. A的最大值为 D. A的最小值为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用正弦定理将已知不等式转化为边，再利用余弦定理求得的取值范围，由此求得的最小值.‎ ‎【详解】由正弦定理得，化简得，由余弦定理得，故，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方法，考查三角不等式的解法，属于基础题.‎ ‎11.设正实数，满足,，不等式恒成立，则的最大值为　　‎ A. B. C. 8 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，则，，将原式转化为关于，的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．‎ ‎【详解】解： ,，‎ 故设，，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，时取等号 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题．‎ ‎12.在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由边角关系式可得，再结合余弦定理得到，代入可得，利用基本不等式可得；将恒成立的不等式转化为与有关的不等式，利用二次函数图像特点，求解出的范围.‎ ‎【详解】 ‎ 又 ‎ 又，当且仅当时取等号 ‎ ‎ ‎ ‎ 设，即当时，恒成立 设 则可知 ‎ 可得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形中边角关系式化简、基本不等式、二次函数成像问题.利用边角关系式求得的范围是解决问题的关键；难点在于通过二次函数图像来得到关于的不等式，讨论二次函数图像通常从以下三个方面来讨论：①判别式；②对称轴；③区间端点值符号.‎ 二、填空题 ‎13.已知中,,若该三角形只有一解,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意，由于中， ，‎ 根据正弦定理，‎ 因为该三角形只有一解，‎ 所以或,‎ 故答案为或.‎ 考点：解三角形 点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。‎ ‎14.已知数列的通项公式为，若数列最大项为，则___．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得出，代入通项公式并化简，求出符合题意的的值．‎ ‎【详解】解：数列的通项公式为，且最大项为，‎ 则，‎ 即，‎ 化简，‎ 解得，‎ 即；‎ 又，‎ ‎．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，解题的关键是把题目转化为等价的不等式组，是基础题目．‎ ‎15.已知实数，满足条件，若的最小值为，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类后数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得a值．‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域，‎ 化目标函数z=ax+y为y=﹣ax+z，‎ 若a＞0，可得当直线y=﹣ax+z过O（0，0）时，z有最小值为0，不合题意；‎ 若a＜0，可得当直线y=﹣ax+z过C（4，0）时，z有最小值为4a，由4a=﹣8，得a=﹣2．‎ 故答案为：﹣2‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查线性规划,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.‎ ‎16.已知数列的前项和为,且，，若不等式.对任意的恒成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，2，由于，解得；‎ 当时，,‎ 两式作差得：‎ 整理得：.所以数列是以为首项，公差的等差数列，‎ 因此，‎ 由于得：，‎ 则有：，‎ 令，则 易得，当时，；当时，.‎ 所以有 ‎（1）当为偶数时，，所以;‎ ‎（2）当为奇数时，，所以.‎ 综上可得，的取值范围是.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法化简为分段函数的形式，由此解不等式，求得不等式的解集.‎ ‎（2）根据（1）的结论可知当时，，将不等式的解集包含的问题，转化为在上恒成立来解决，利用二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1），当时，．‎ ‎，或或，‎ 或或，， ‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎（2）由（1）知，当时，．‎ ‎∵不等式的解集包含，‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∴，，‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎18.在中，角，，所对的边分别是，，，且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知结合正弦定理化简可求，进而可求；‎ ‎（2）由余弦定理可得，，代入可求，由正弦定理可得，可求．‎ ‎【详解】解：（1）由正弦定理得，‎ 化简得.‎ 因为在三角形中，，，‎ 可得.‎ 又因为，所以 ‎（2）由余弦定理可得，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 由正弦定理可得，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．‎ ‎19.已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得关于，的方程组，解之即可求得数列和的通项公式；‎ ‎（2）把数列和的通项公式代入数列，再由错位相减法求．‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则 ‎，解得，，；‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎．‎ 两式作差可得：‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的前项和，是中档题．‎ ‎20.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写出公式，即若，则．‎ ‎（1）已知的三边，，，且，求证：的面积．‎ ‎（2）若，，求的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角形的面积公式和同角的平方关系、余弦定理可得证明；‎ ‎（2）运用两角和的正切公式，求得，再由余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式可得所求最大值．‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎；‎ ‎（2）由，可得，‎ 即有，‎ 由，可得，，‎ 即有，即，‎ 由于，故，由余弦定理可得，‎ 可得，当且仅当时取得等号，则的面积，即的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正切公式和基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎21.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．‎ ‎（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？‎ ‎（2）若要保证剩余员工创造年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？‎ ‎【答案】（1）最多调整500名；（2），‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据题意可列出，进而解不等式求得的范围，确定问题的答案．‎ ‎（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求的范围．‎ ‎【详解】（1）设调整出名员工，则由题意，得，即，又，所以．‎ 即最多调整500名员工从事第三产业．‎ ‎（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，‎ 从事原来产业的员工的年总利润为万元，‎ 则，所以，‎ 所以，即在时恒成立．‎ 因为，当且仅当，即时等号成立，所以，‎ 又，所以．所以的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．‎ ‎22.已知数列满足，．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，为数列的前项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用配凑法，将转化为，由此证得数列是等差数列，并求得数列的通项公式.‎ ‎（2）首先求得的表达式，利用裂项求和法求得，将不等式分离常数，得对任意的正整数都成立，利用基本不等式求得的最大值，进而求得的最小值.‎ ‎【详解】解：（1）证明：，，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 即， ‎ 又，∴，‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列；，∴.∴数列的通项公式为；‎ ‎（2）由（1）知，， ‎ ‎∴． ‎ 由对任意的正整数都成立，得对任意的正整数都成立，‎ ‎∵，当且仅当时取等号， ，的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据递推关系证明等差数列，考查裂项求和法，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.‎ ‎ ‎