江西省濂溪一中2019-2020学年高一下学期期中阶段性评价考试数学试题

江西省濂溪一中2019-2020学年高一下学期期中阶段性评价考试数学试题

‎2020年高一下学期期中阶段性评价考试 数 学 试 卷 卷首语：‎ 因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，每科试卷与答题卡都提前两小时通过班级群发送，请下载打印，考试中，自觉遵守纪律，做到家校统一，考试结束后，请将答题卡拍照上传。‎ 注意：考试时间120分，试卷总分100分，本卷由高二数学教研组命题，考试范围为必修+选修全部内容，试卷格式与高考一致。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在中，一定成立的等式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．在中，，，，则最短的边的长度是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．数列，，，，的一个通项公式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知数列对任意的，满足且，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设的内角，，的对边分别为，，．若，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在等差数列中，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，三边，，与面积的关系式为，则角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在中，，，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知是等比数列，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，设，，当时，的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．在中，，，，则 ．‎ ‎14．等比数列的前项和为，已知，，成等比数列，则数列的公比为 ．‎ ‎15．在中，，，是边上的一点，，的面积为，则的长为 ．‎ ‎16．设是等比数列，公比，为的前项和．记，．设为数列的最大项，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）在中，，为锐角，角，，所对的边分别为，，，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求，，的值．‎ ‎18．（12分）在数列中，，．‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）设数列满足，求的通项公式．‎ ‎19．（12分）已知，，分别为的内角，，的对边，且满足，函数在区间上单调递增，‎ 在区间上单调递减．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，证明：为等边三角形．‎ ‎20．（12分）设数列，满足，，，且数列是等差数列，数列是等比数列．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为，，测得，，，．‎ ‎（1）求的长度；‎ ‎（2）若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用 较低？请说明理由．‎ ‎22．（12分）定义：若数列满足，则称数列为“平方数列”．已知在数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．‎ ‎（1）证明：数列是“平方数列”，且数列为等比数列；‎ ‎（2）设（1）中“平方数列”的前项之积为，则，求数列的通项及关于的表达式．‎ 数学 答案与解析 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】由，得．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】由三角形内角和定理知，‎ 根据“大角对大边”以及角最小，可知最短的边是，‎ 由正弦定理，解得．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】将首项改写为后，观察发现：分式前的符号规律为，‎ 分母，，，，的规律为，分子，，，，的规律为．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】，，，故．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由余弦定理，得，‎ ‎∴，∴，‎ 由，得．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】，．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】因为且，‎ 所以，所以，所以，所以．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】∵，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】因为，所以，，‎ 所以．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】设等比数列的首项为，公比为，则，，所以，‎ 由等比数列的性质知数列仍是等比数列，其首项为，公比为，‎ 故由等比数列前项和公式，得．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】由已知，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，解得，‎ ‎∴的最小值为．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】或 ‎【解析】将，，代入，‎ 即，整理得，∴或．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，‎ ‎①当时，，即，不符合题意，所以；‎ ‎②当时，应有，‎ 化简得，得或（舍去）或（舍去）．‎ ‎15．【答案】或 ‎【解析】如图，‎ 设，由，得，∴．‎ 在中，由余弦定理得，‎ 解的或，‎ 当时，由，得，‎ 又由，得；‎ 当时，同理得．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】根据等比数列的求和公式，‎ 故，‎ 令，则函数，‎ 当时，函数取得最小值，此时，‎ 而，故此时最大，所以．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2），，．‎ ‎【解析】（1）∵，为锐角，，∴．‎ 又，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎（2）由（1）知，∴．‎ 由正弦定理，得，即，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）（与无关），‎ 故数列为等差数列，且公差．‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 故，所以．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴．‎ 又∵（为的外接圆半径），‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）由题意知，∴，∴，‎ 又∵，∴，‎ 由余弦定理知，∴．‎ ‎∵，∴，即，∴，‎ 又∵，∴为等边三角形．‎ ‎20．【答案】（1），；（2）不存在，详见解析．‎ ‎【解析】（1）由题意得，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 由已知得，，故数列的公比，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）设，‎ 因为，‎ 所以当时，是增函数．‎ 因为，所以当时，，‎ 又，所以不存在，使得．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）小李的设计建造费用较低，详见解析．‎ ‎【解析】（1）在中，由余弦定理得，①‎ 在中，由余弦定理及整理得，②‎ 由①②得，解得，‎ 又为三角形的内角，即，所以，‎ 又，，所以是等边三角形，故．‎ ‎（2）小李的设计建造费用较低．理由如下：‎ ‎，，‎ 因为，，所以，‎ 由题知建造标志费用与用地面积成正比，‎ 故选择建造环境标志费用较低，即小李的设计建造费用较低．‎ ‎22．【答案】（1）证明见解析；（2），．‎ ‎【解析】（1）由条件，得，，‎ ‎∴是“平方数列”．‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，∴是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎