广东省广东仲元中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

广东省广东仲元中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

仲元中学南海中学2018~2019学年度第二学期高二年级理科数学期末联考试题 一、选择题(本题共12小题， 每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知复数是纯虚数是虚数单位)，则实数等于（ ）‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数，根据复数为纯虚数得到答案.‎ 详解】‎ 知复数是纯虚数 且 故答案选C ‎【点睛】本题考查了复数计算，属于简单题.‎ ‎2.对于实数，，若或，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断充分性和必要性，得到答案.‎ ‎【详解】取 此时 不充分 若或等价于且，易知成立，必要性 故答案选B ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，举出反例和转化为逆否命题都可以简化运算.‎ ‎3.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ）‎ A. 250个 B. 249个 C. 48个 D. 24个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有个，应选答案C。‎ ‎4.函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值排除选项得到答案.‎ ‎【详解】排除BD 排除C 故答案选A ‎【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数性质着手得到答案.‎ ‎5.设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）‎ ‎（注：若，则，）‎ A. 7539 B. 6038 C. 7028 D. 6587‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算.‎ 详解：，，‎ ‎，则 ‎ 则，‎ 阴影部分的面积为：0.6587.‎ 方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.‎ 故选：D.‎ 点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.‎ ‎6.利用数学归纳法证明不等式的过程，由到时，左边增加了（ ）‎ A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算和时不等式左边的项数，相减得到答案.‎ ‎【详解】时，不等式左边：共有 时，：共有 增加了 故答案选D ‎【点睛】本题考查了数学归纳法的项数问题，属于基础题型.‎ ‎7.已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（　　）‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ m ‎3‎ ‎2‎ A. 变量x，y之间呈现负相关关系 B. 可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7‎ C. m＝4‎ D. 由表格数据可知，该回归直线必过点（9，4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，由，得变量，之间呈负相关，故A正确；当时，则，故B正确；由数据表格可知，，则，解得，故C错；由数据表易知，数据中心为，故D正确.故选C.‎ ‎8.若，则的展开式中常数项为 A. 8 B. 16 C. 24 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为 所以的通项公式为 令，即 ‎∴二项式展开式中常数项是，故选C.‎ ‎9.在正方体中，与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明与平面所成角为，再利用边的关系得到正弦值.‎ ‎【详解】如图所示：连接与交于点，连接，过点作 ‎ 与平面所成角等于与平面所成角 正方体平面 ‎ 平面 ‎ 与平面所成角为 设正方体边长为1‎ 在中 故答案选B ‎【点睛】本题考查了线面夹角，判断与平面所成角为是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎10.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种.‎ A. 36 B. 30 C. 12 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，‎ 其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，‎ 再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种.‎ 本题选择A选项.‎ ‎11.己知为坐标原点，设、 分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位线性质得到得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：延长交于 ‎ 的平分线为，为中点 在中，是中点， 为中点 故答案选C ‎【点睛】本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将是解题的关键.‎ ‎12.已知函数则函数的零点个数为（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 画出函数的图像如图，由可得，则问题化为函数与函数的图像的交点的个数问题。结合图像可以看出两函数图像的交点只有两个，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是依据题设条件，在平面直角坐标系中画出函数的图像，借助图像的直观将方程的解的个数问题等价转化为两个函数的图像的交点的个数问题，体现了等价转化与化归的数学思想及数形结合的数学思想的灵活运用。‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.在的展开式中，含的项的系数是__________．‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式展开式的通项公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，展开式为： ‎ 含的项的系数是 故答案为240‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，属于基础题型.‎ ‎14.若，则曲线在点处的切线方程是 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，得到斜率，再代入切点得到切线方程.‎ ‎【详解】 ‎ 切线方程为： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了曲线的切线问题，确定切点是解题的关键.‎ ‎15.已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，中，根据勾股定理得得到渐近线方程.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 切点为，连接，过作于 是中点，‎ 在中，根据勾股定理得：‎ 渐近线方程为：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了双曲线渐近线，作辅助线是解题的关键，也可以直接利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.‎ ‎16.如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则__________．‎ ‎【答案】361‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将按照奇偶分别计算：当 为偶数时，；当为奇数时，，‎ 计算得到答案.‎ ‎【详解】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，‎ 当为偶数时，，‎ 当为奇数时，，，，‎ ‎，，，，‎ 解法二：当时，，‎ 当时，，‎ ‎【点睛】本题考查了数列的前N项和，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知数列满足：，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算，再分别取时两个等式相减得到，计算得到.‎ ‎（2）先计算，，利用裂项求和得到答案.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，‎ ‎.‎ 当时，也成立.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用及计算能力.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，E，F分别是BC，PC的中点．‎ Ⅰ证明：；‎ Ⅱ设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据正三角形性质得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根据PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,‎ 由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面AEF一个法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系得结果.‎ 详解：（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，所以三角形ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，则又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD ‎ ‎（2）过A作AH⊥PD于H，连HE，由（1）得AE⊥平面PAD 所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2） ‎ ‎∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直线PD与平面AEF所成的角的余弦值为 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎19.已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.‎ ‎（1）若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（2）记，求取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线l1的方程为y﹣1=k（x﹣1），根据韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率k，问题得以解决，‎ ‎（2）根据弦长公式分别求出|AB|，|CD|，再根据基本不等式即可求出．‎ ‎【详解】（1）设直线的斜率为，方程为，代入中，‎ ‎∴.∴.判别式 .设，，则 ‎.∵中点为，∴，则.‎ ‎∴直线的方程为，即.‎ ‎（2）由（1）知 .‎ 设直线的方程为.同理可得.‎ ‎∴.∴ .‎ 令，则，.在，‎ 分别单调递减，∴或.故或.即.‎ ‎【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎20.随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：‎ 经常进行网络购物 偶尔或从不进行网络购物 合计 男性 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎110‎ ‎90‎ ‎200‎ ‎（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？‎ ‎（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取人，从这人中随机选出人赠送网络优惠券，求选出的人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；‎ ‎（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为，求的期望和方差.‎ 附：，其中 ‎【答案】（1）不能（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由列联表中的数据计算的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽取的5名女网民中经常进行网购和偶尔或不进行网购的人数，计算所求的概率值；（3）由列联表中数据计算经常进行网购的频率，将频率视为概率知随机变量服从次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小．‎ 试题解析：（1）由列联表数据计算.‎ 所以，不能再犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关.‎ ‎（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有人，偶尔或从不进行网购的有人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是.‎ ‎（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为.‎ 由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是.‎ 由于该市市民数量很大，故可以认为.‎ 所以，，.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可．‎ ‎【详解】（1）定义域为：，‎ 当时，.‎ ‎∴在时为减函数；在时为增函数.‎ ‎（2）记，则在上单增，且.∴ .∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.‎ ‎①在时，在上单增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点；‎ ‎③在时，由可知在时有唯一的一个极小值.‎ 若，，无零点；若，，只有一个零点；若时，，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.‎ ‎【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为： （为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若， 分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.‎ 曲线：，∴，故的普通方程为.‎ ‎（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为 ‎ ‎.‎ 当时，有最小值，所以的最小值为.‎ ‎ ‎