2019届二轮复习（文）选修4-5第1节绝对值不等式课件（30张）（全国通用）

2019届二轮复习（文）选修4-5第1节绝对值不等式课件（30张）（全国通用）

第 1 节　绝对值不等式 最新考纲　 1. 理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b |( a ， b ∈ R ) ； | a － b | ≤ | a － c | ＋ | c － b |( a ， b ∈ R ) ； 2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： | ax ＋ b | ≤ c ； | ax ＋ b | ≥ c ； | x － c | ＋ | x － b | ≥ a . 1. 绝对值不等式的解法 (1) 含绝对值的不等式 | x |< a 与 | x |> a 的解集 知 识 梳 理 ( － a ， a ) 不等式 a >0 a ＝ 0 a <0 | x |< a __________ ∅ ∅ | x |> a ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞) ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞) R (2)| ax ＋ b | ≤ c ( c >0) 和 | ax ＋ b | ≥ c ( c >0) 型不等式的解法 ① | ax ＋ b | ≤ c ⇔ ； ② | ax ＋ b | ≥ c ⇔ ； (3)| x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c ＞ 0) 和 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c ＞ 0) 型不等式的解法 ① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想； ③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 . － c ≤ ax ＋ b ≤ c ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c 2. 含有绝对值的不等式的性质 (1) 如果 a ， b 是实数，则 | a ＋ b | ≤ ，当且仅当 时 ，等号成立 . (2) 如果 a ， b ， c 是实数， 那么 ，当且仅当 时 ，等号成立 . | a | ＋ | b | ab ≥ 0 | a － c | ≤ | a － b | ＋ | b － c | ( a － b )( b － c ) ≥ 0 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 若 | x | ＞ c 的解集为 R ，则 c ≤ 0.( 　　 ) (2) 不等式 | x － 1| ＋ | x ＋ 2| ＜ 2 的解集为 ∅ .( 　　 ) (3) 对 | a ＋ b | ≥ | a | － | b | 当且仅当 a ＞ b ＞ 0 时等号成立 .( 　　 ) (4) 对 | a | － | b | ≤ | a － b | 当且仅当 | a | ≥ | b | 时等号成立 .( 　　 ) (5) 对 | a － b | ≤ | a | ＋ | b | 当且仅当 ab ≤ 0 时等号成立 .( 　　 ) 答案　 (1)× 　 (2)√ 　 (3)× 　 (4)× 　 (5)√ 诊 断 自 测 2. 不等式 | x － 1| － | x － 5|<2 的解集是 ( 　　 ) A .( － ∞ ， 4) B .( － ∞ ， 1) C .(1 ， 4) D .(1 ， 5) 解析 　 ① 当 x ≤ 1 时，原不等式可化为 1 － x － (5 － x )<2 ， ∴ － 4<2 ，不等式恒成立， ∴ x ≤ 1. ② 当 1< x <5 时，原不等式可化为 x － 1 － (5 － x )<2 ， ∴ x <4 ， ∴ 1< x <4 ， ③ 当 x ≥ 5 时，原不等式可化为 x － 1 － ( x － 5)<2 ，该不等式不成立 . 综 上，原不等式的解集为 ( － ∞ ， 4). 答案 　 A 3. ( 选修 4 － 5P19 习题 T9 改编 ) 若关于 x 的不等式 | a | ≥ | x ＋ 1| ＋ | x － 2| 存在实数解，则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 　由于 | x ＋ 1| ＋ | x － 2| ≥ |( x ＋ 1) － ( x － 2)| ＝ 3 ， ∴ | x ＋ 1| ＋ | x － 2| 的最小值为 3. 要 使原不等式有解，只需 | a | ≥ 3 ，则 a ≥ 3 或 a ≤ － 3. 答案 　 ( － ∞ ，－ 3] ∪ [3 ，＋ ∞) 4. 若不等式 | kx － 4| ≤ 2 的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 3} ，则实数 k ＝ ________. 解析 　 ∵ | kx － 4| ≤ 2 ， ∴ － 2 ≤ kx － 4 ≤ 2 ， ∴ 2 ≤ kx ≤ 6. ∵ 不等式的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 3} ， ∴ k ＝ 2. 答案 　 2 故原不等式得证 . 考点一　绝对值不等式的解法 【例 1 － 1 】 (2016· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － |2 x － 3|. ( 1) 在图中画出 y ＝ f ( x ) 的图象； ( 2) 求不等式 | f ( x )|>1 的解集 . 故 y ＝ f ( x ) 的图象如图所示 . (2) 由 f ( x ) 的解析式及图象知， 当 f ( x ) ＝ 1 时，可得 x ＝ 1 或 x ＝ 3 ； 【例 1 － 2 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ ax ＋ 4 ， g ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ | x － 1|. ( 1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集； ( 2) 若不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含 [ － 1 ， 1] ，求 a 的取值范围 . 解 　 (1) 当 a ＝ 1 时， f ( x ) ＝－ x 2 ＋ x ＋ 4 ， f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ x 2 － x ＋ | x ＋ 1| ＋ | x － 1| － 4 ≤ 0. ① 当 x >1 时， f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ x 2 ＋ x － 4 ≤ 0 ， ② 当－ 1 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ ( x － 2)( x ＋ 1) ≤ 0 ，则 － 1 ≤ x ≤ 1. ③ 当 x < － 1 时， f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ x 2 － 3 x － 4 ≤ 0 ，解得－ 1 ≤ x ≤ 4 ， 又 x < － 1 ， ∴ 不等式此时的解集为空集 . (2) 依题意得：－ x 2 ＋ ax ＋ 4 ≥ 2 在 [ － 1 ， 1] 上恒成立 . 则 x 2 － ax － 2 ≤ 0 在 [ － 1 ， 1] 上恒成立 . 故 a 的取值范围是 [ － 1 ， 1]. 规律方法　 1. 本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想 . 2. 解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集 . 此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解 . 【训练 1 】 已知函数 f ( x ) ＝ | x － 2|. ( 1) 求不等式 f ( x ) ＋ x 2 － 4>0 的解集； ( 2) 设 g ( x ) ＝－ | x ＋ 7| ＋ 3 m ，若关于 x 的不等式 f ( x )< g ( x ) 的解集非空，求实数 m 的取值范围 . 解 　 (1) 不等式 f ( x ) ＋ x 2 － 4>0 ，即 | x － 2|>4 － x 2 . 当 x >2 时，不等式可化为 x 2 ＋ x － 6>0 ，解得 x >2 ； 当 x <2 时，不等式可化为 x 2 － x － 2>0 ，解得 x < － 1. 所以 原不等式的解集为 { x | x >2 或 x < － 1}. ( 2) 依题意， | x － 2|<3 m － | x ＋ 7| 解集非空 ， ∴ 3 m >| x － 2| ＋ | x ＋ 7| 在 x ∈ R 上有解， 又 | x － 2| ＋ | x ＋ 7| ≥ |( x － 2) － ( x ＋ 7)| ＝ 9 ，所以 3 m >9 ，解得 m >3. 故实 数 m 的取值范围是 (3 ，＋ ∞). 考点二　绝对值不等式性质的应用 因为 |1 － 4 ab | 2 － 4| a － b | 2 ＝ (1 － 8 ab ＋ 16 a 2 b 2 ) － 4( a 2 － 2 ab ＋ b 2 ) ＝ 16 a 2 b 2 － 4 a 2 － 4 b 2 ＋ 1 ＝ (4 a 2 － 1)(4 b 2 － 1)>0 ， 所以 |1 － 4 ab | 2 >4| a － b | 2 ， 故 |1 － 4 ab |>2| a － b |. 【例 2 － 2 】 对于任意的实数 a ( a ≠0) 和 b ，不等式 | a ＋ b | ＋ | a － b | ≥ M ·| a | 恒成立，记 实数 M 的最大值是 m . ( 1) 求 m 的值； ( 2) ( 一题多解 ) 解不等式 | x － 1| ＋ | x － 2| ≤ m . 解　 (1) 不等式 | a ＋ b | ＋ | a － b | ≥ M ·| a | 恒成立， 因为 | a ＋ b | ＋ | a － b | ≥ |( a ＋ b ) ＋ ( a － b )| ＝ 2| a | ， 当且仅当 ( a － b )( a ＋ b ) ≥ 0 时等号成立， 因此 m ＝ 2. (2) 不等式 | x － 1| ＋ | x － 2| ≤ m ， 即 | x － 1| ＋ | x － 2| ≤ 2. 法一　 由于 | x － 1| ＋ | x － 2| 表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和； 法二　 ① 当 x <1 时，不等式为－ ( x － 1) － ( x － 2) ≤ 2 ， ② 当 1 ≤ x ≤ 2 时，不等式为 ( x － 1) － ( x － 2) ≤ 2 ， 即 1 ≤ x ≤ 2. ③ 当 x >2 时，不等式为 ( x － 1) ＋ ( x － 2) ≤ 2 ， 规律方法 　 1. 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： (1) 利用绝对值的几何意义； (2) 利用绝对值三角不等式，即 | a | ＋ | b | ≥ | a ± b | ≥ | a | － | b | ； (3) 利用零点分区间法 . 2. 含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用 . 【训练 2 】 对于任意实数 a ， b ，已知 | a － b | ≤ 1 ， |2 a － 1| ≤ 1 ，且恒有 |4 a － 3 b ＋ 2| ≤ m ，求实数 m 的取值范围 . 解　 因为 | a － b | ≤ 1 ， |2 a － 1| ≤ 1 ， 则 |4 a － 3 b ＋ 2| 的最大值为 6 ， 所以 m ≥ |4 a － 3 b ＋ 2| max ＝ 6 ， m 的取值范围是 [6 ，＋ ∞). 考点三　绝对值不等式的综合应用 【例 3 】 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － | x － 2|. ( 1) 求不等式 f ( x ) ≥ 1 的解集； ( 2) 若不等式 f ( x ) ≥ x 2 － x ＋ m 的解集非空，求 m 的取值范围 . ① 当 x ≤ － 1 时， f ( x ) ＝－ 3 ≥ 1 无解； ② 当－ 1< x <2 时， 2 x － 1 ≥ 1 ， 解得 x ≥ 1 ，则 1 ≤ x <2 ； ③ 当 x ≥ 2 时， f ( x ) ＝ 3 ≥ 1 恒成立， ∴ x ≥ 2. 综上知 f ( x ) ≥ 1 的解集为 { x | x ≥ 1}. (2) 不等式 f ( x ) ≥ x 2 － x ＋ m 等价于 f ( x ) － x 2 ＋ x ≥ m ， 得 m ≤ | x ＋ 1| － | x － 2| － x 2 ＋ x 有解， 规律方法 　 1. 例 3 第 (1) 问分段讨论，求得符合题意的 x 取值范围，最后取并集 . 2.(1) 不等式恒成立问题，解集非空 ( 不能成立 ) 问题，转化为最值问题解决 . (2) 本题分离参数 m ，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程 . 【训练 3 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a . ( 1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集； ( 2) 设函数 g ( x ) ＝ |2 x － 1|. 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 ，求实数 a 的取值范围 . 解 　 (1) 当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ |2 x － 2| ＋ 2. 解 不等式 |2 x － 2| ＋ 2 ≤ 6 得－ 1 ≤ x ≤ 3. 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | － 1 ≤ x ≤ 3}. (2) 当 x ∈ R 时， 所以当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 等价于 |1 － a | ＋ a ≥ 3. ① 当 a ≤ 1 时， ① 等价于 1 － a ＋ a ≥ 3 ，无解 . 当 a >1 时， ① 等价于 a － 1 ＋ a ≥ 3 ，解得 a ≥ 2. 所以 a 的取值范围是 [2 ，＋ ∞).