【数学】2018届一轮复习人教A版（理）定积分的简单应用学案
2018 年高考数学（理）一轮复习讲义：定积分的简单应用
必考考点 考纲要求 考试题型 高考分值
定积分的
简单应用
1. 会通过定积分求由两条或多条曲线围成的
图形的面积；
2. 能利用定积分解决物理中的变速直线运动
的路程、变力做功问题；
解答题 8 分
【考向预测】
定积分是新课标教材新增加的内容，它不仅为传统高中数学注入了新鲜血液，还给学生
提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识。高考中比较注重考查定积分的几何意义和
物理意义的简单应用，题目属于中档题。
◆ 定积分在几何中的应用
一般来说，利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下：
（1）画出图形；
（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，确定积分上、下限；
（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；
（4）写出平面图形面积的积分表达式；
（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
【规律总结】
1. 一条曲线 y=f（x）和直线 x=a，x=b（a
g（x），曲线 f（x），g（x），直线 x=a，x=b 围成的面积 S= [f（x）－g
（x）]dx。
（2）f（x）>0，g（x）<0，面积 S= [f（x）-g（x）]dx= f（x）dx＋ |g（x）
( )db
a
f x x∫
( )db
a
f x x∫
( )db
a
f x x∫
( )db
a
f x x∫
b
a∫
b
a∫ b
a∫ b
a∫
|dx。
◆ 定积分在物理中的应用
1. 变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v
（t）（v（t）≥0）在时间区间[a，b]上的定积分，即 。
（1）当 v（t）≥0 时，求某一时间段内的路程和位移均用 求解；
（2）当 v（t）<0 时，求某一时间段内的位移用 求解，这一时间段的路程是
位移的相反数，即路程为 。
2. 变力做功：如果物体在变力 F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F（x）相同
的方向从 x＝a 移动到 x＝b（a4 时，P 点向 x 轴负方向运动。故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程：
s1＝ （8t－2t2）dt－ （8t－2t2）dt＝（4t2－ t3） －（4t2－ t3） ＝ 。
当 t＝6 时，点 P 的位移为 （8t－2t2）dt＝（4t2－ t3） ＝0。
（2）依题意知 （8t－2t2）dt＝0，即 4t2－ t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，故 t＝6 是所求的值。
6. 解：依题意知物体 A，B 均做变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求
解。设 a 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，则
A 从开始到 a 秒末所走的路程为 sA＝ vAdt＝ （3t2＋1）dt＝a3＋a；
B 从开始到 a 秒末所走的路程为 sB＝ vBdt＝ 10tdt＝5a2。
由题意得 sA＝sB＋5，即 a3＋a＝5a2＋5，得 a＝5。
此时 sA＝53＋5＝130（米），sB＝5×52＝125（米）。
故 5 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运动的距离分别是 130 米和 125 米。
答：此时，物体 A、B 运动的路程分别是 130 米和 125 米。
1
0∫ 1
0∫ 2
4
x 2
1∫ 2
1∫ 2
4
x 3
1
03
x
3
12
x 1
0
2
1
3
12
x 2
1
2
3
4
3
25
1 t+
84 3t = − 舍去
4
0∫ 4
0
257 3 1t t
− + + ∫
( )2 4
0
37 25 12t t ln t − + +
2 2 2− 4 2
0
4
(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx
π π
π− + −∫ ∫
4 2
0 4
(cos sin ) ( cos sin ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 2
2 2 2 2
x x x x
π π
π= + + − − = + − + − − − − = −
( )3
0
df x x∫
4
0∫ 6
4∫ 2
3
4
0
2
3
6
4
128
3
6
0∫ 2
3
6
0
0
t∫ 2
3
0
a∫ 0
a∫
0
a∫ 0
a∫
