湖南省怀化市新博览联考2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

湖南省怀化市新博览联考2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

湖南省怀化市2019-2020学年新博览联考高三（上）期中数学文科试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合P={x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 设命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 3. 已知a=log3e，b=ln3，c=log32，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知等差数列{an}中，a3+a5=π，Sn是其前n项和．则sinS7等于（　　）‎ A. 1 B. ‎0 ‎C. D. ‎ 5. 已知函数f（x）=，若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知函数f（x）=x•lnx，下列判断正确的是（　　）‎ A. 在定义域上为增函数 B. 在定义域上为减函数 C. 在定义域上有最小值,没有最大值 D. 在定义域上有最大值,没有最小值 7. 已知正△ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足，那么的值为（　　）‎ A. B. C. 1 D. 3‎ 8. 若{an}是公差为的等差数列，它的前10项和为，则a1+a3+a5+a7+a9的值为（　　）‎ A. 10 B. C. 20 D. ‎ 9. 某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：‎ 记录时间 累计里程(单位：公里) ‎ 平均耗电量(单位：kW·h/公里) ‎ 剩余续航里程(单位：公里) ‎ ‎2019年1月1日‎ ‎ ‎4000 ‎ ‎0.125 ‎ ‎280 ‎ ‎2019年1月2日‎ ‎ ‎4100 ‎ ‎0.126 ‎ ‎146 ‎ ‎ (注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,,,下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是(    )‎ A. 等于 B. 到之间 C. 等于 D. 大于 1. 已知函数f（x）=sinx-cosx，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（　　）‎ A. 函数的值域与的值域相同 B. 若是函数的极值点,则是函数的零点 C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象 D. 函数和在区间上都是增函数 2. 函数y=f（x）（x∈R）满足：对一切x∈R，f（x）≥0．且，当x∈[0，1）时，．则f（2019）的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（　　）‎ A. B. ‎5 ‎C. 1 D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 4. 已知平面向量=（2，-1），=（1，x）．若∥，则x=______．‎ 5. 与曲线y=x2相切于P（e，e）处的切线方程是______．‎ 6. 若{an}是等比数列，且公比q=4，a1+a2+a3=21，则an=______．‎ 7. 已知△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是A，B，C的对边．若A=2B，则 （1）角B的取值范围是______． （2）的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 8. 已知集合P={x|x2-8x-20≤0}，S={x|1-m≤x≤1+m}． （Ⅰ）若1∈S，求出m的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充分条件，若存在，求出m的范围．若不存在，请说明理由． ‎ 9. 已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx． （Ⅰ）求f（）的值及f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增，求实数m的最大值． ‎ 10. 已知{an}是公差不为0的等差数列，且满足a1=2，a1，a3，a7成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn． ‎ 1. 已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc． （1）求角A的大小； （2）若b2+c2=4，求△ABC的面积． ‎ 2. 已知函数，， （Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围． ‎ 3. 已知函数，函数g（x）=-2x+3． （Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：A.0∈M，1∈M，则M⊆P成立， B.3∉M，则M⊆P不成立， C．-1∉M，则M⊆P不成立， D.5∉M，则M⊆P不成立， 故选：A． 根据集合子集的定义进行判断即可． 本题主要考查集合关系的判断，根据元素关系结合集合子集的子集的定义进行判断是解决本题的关键． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题p：∀x∈R，sinx≤1则￢p是∃x0∈R，sinx0＞1． 故选：D． 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定，特称命题与汽车媒体的否定关系，基本知识的考查． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为b=ln3＞1，1＞log3e＞log32＞0， 所以c＜a＜b， 故选：D． 由对数的运算得：b=ln3＞1，1＞log3e＞log32＞0，得解． 本题考查了对数的运算，属简单题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：等差数列{an}中，a3+a5=π， ∴==， ∴sinS7==sin（-）=-sin=-1． 故选：C． 由等差数列{an}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sinS7． 本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由2x＞0，函数f（x）存在零点， 则f（x）的零点为0，可得a＞0， 故选：B． 由指数函数的值域和函数零点的定义，即可得到所求范围． 本题考查函数的零点判断，注意运用指数函数的值域和定义法，属于基础题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵f（x）=xlnx，x∈（0，+∞）， ∴f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，得x=， ∴当x 时，f′（x）＜0，f（x ‎）递减． 当x 时，f′（x）＞0，f（x）递增， ，f（x）无最大值． 故选：C． 求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值． 本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】 解：由已知可得：EB=EC=， 又tan∠BED==， 所以cos∠BEC==-， 所以=||||cos∠BEC=××（-）=-1， 故选：B． 由二倍角公式得：tan∠BED==，所以cos∠BEC==-，由平面向量数量积的性质及其运算得：=||||cos∠BEC=××（-）=-1，得解． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵{an}是公差为的等差数列，它的前10项和为， ∴=， 解得a1=0， ∴a1+a3+a5+a7+a9=‎5a5=5（a1+4d）=5×（0+4×）=10． 故选：A． 推导出{an}是公差为的等差数列，它的前10项和为，求出a1=0，由此能求出a1+a3+a5+a7+a9． 本题考查等差数列中5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 根据累计耗电量公式计算． 本题考查了函数模型的应用，属于基础题． 【解答】 ​解：4100×0.126-4000×0.125=516.6-500=16.6． 故选：D． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=sinx-cosx，∴g（x）=f'（x）=cosx+sinx， 对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确； 对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z； 解得x0=kπ+，k∈Z；， ‎ g（x0）=sin（kπ+-）=0， ∴x0也是函数g（x）的零点，B正确； 对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位， 得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cosx-sinx≠g（x），∴C错误； 对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数， x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确． 故选：C． 求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵对一切x∈R，f（x）≥0．且， ∴f2（x+1）+f2（x）=2019，从而有f2（x+2）+f2（x+1）=2019； 两式相减，得f2（x+2）-f2（x）=0； ∵f（x）≥0，∴f（x+2）=f（x）； ∴f（x）是以2为周期的函数， ∴f（2019）=f（2×1009+1）=f（1）=； 故选：C． 将条件平方有f2（x+1）+f2（x）=2019，从而有f2（x+2）+f2（x+1）=2019；从而有得f2（x+2）-f2（x）=0，开方得到函数的周期性，再代出函数值． 本题考查函数的周期性，函数关系的递推的应用，属于中档题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：以A 为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1， 设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ）， ∴， 2λ+μ的最小值是3-． 故选：D． 建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围． 本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题． 13.【答案】- ‎ ‎【解析】解：∵； ∴2x+1=0； ∴． 故答案为：． 根据即可得出2x+1=0，解出x即可． 考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系． 14.【答案】2x-y-e=0 ‎ ‎【解析】解：∵曲线y=x2， ∴y′=， ∴x=e，k=y′|x=e=2， ∴曲线y=x2在点P（e，e）切线方程为y-e=2（x-e），即2x-y-e=0． 故答案为：2x-y-e=0‎ ‎． 先求出曲线y=x2的导函数，然后求出在x=e处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可． 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题． 15.【答案】4n-1 ‎ ‎【解析】解：{an}是等比数列，且公比q=4，a1+a2+a3=21， 则a1+‎4a1+‎16a1=21， 解得a1=1， ∴an=4n-1， 故答案为：4n-1 根据等比数列的通项公式先求出首项，即可求出 本题主要考查了等比数列的通项公式公式，考查了整体运算思想，属基础题． 16.【答案】   ‎ ‎【解析】解：（1）∵A=2B，A+B+C=π， ∴C=π-3B， ∵△ABC是锐角三角形， ∴0＜2B＜且0＜π-3B＜，解得＜B＜， （2）由正弦定理得，===2cosB， ∵＜B＜，得＜cosB＜，即＜＜， 令t=∈（，）． ∴=t+=g（t）， 则g（t）在t∈（，）上单调递增． ∴g（t）∈（，）． ∴的取值范围是（，）． 故答案为：（，）；  （，）． （1）由题意和内角和定理表示出C，由锐角三角形的条件列出不等式组，求出B的范围， （2）由正弦定理和二倍角的正弦公式化简，由函数的单调性求出结论． 本题考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，内角和定理、三角函数的单调性，考查转化思想，化简、变形能力，属于中档题． 17.【答案】解：（Ⅰ）若1∈S，则1-m≤1≤1+m， 即，得，得m≥0． （Ⅱ）P={x|x2-8x-20≤0}={x|-2≤x≤10}，S={x|1-m≤x≤1+m}． 假设存在实数m，使x∈P是x∈S的充分条件，则必有P⊆S． 所以，得， 解得m≥9． 所以存在实数m∈[9，+∞）使条件成立． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据1∈S，直接解不等式组即可． （Ⅱ）根据充分条件和必要条件与集合的关系转化为P⊆S，进行求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与集合的关系进行转化是解决本题的关键．比较基础． 18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+， 则f（）=sin（2×+）+=sin+==1， 函数的最小周期T==π． （Ⅱ）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z ‎， 得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， 即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z， 当k=0时，函数的单调递增区间为[-，]， 若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增， 则[0，m]⊆[-，]， 即0＜m≤， 即实数m的最大值为． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用倍角公式结合辅助角公式进行化简求解即可． （Ⅱ）根据三角函数的单调性的性质求出函数的单调递增区间，结合单调区间关系进行求解即可． 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键． 19.【答案】（共13分） 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，因为a1，a3，a7成等比数列， 所以． 所以． 所以4d2‎-2a1d=0． 由d≠0，a1=2得d=1， 所以 an=n+1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 所以 ==． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出公差，然后求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）化简，利用等差数列以及等比数列求和个数求解即可． 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力． 20.【答案】解：（1）△ABC中，b2+c2=a2+bc， ∴b2+c2-a2=bc，…（2分） ∴cosA===；…（4分） 又∵0＜A＜π， ∴A=； …（6分） （2）∵=2R，R为△ABC外接圆的半径， ∴a=2RsinA=2×1×=；…（8分） 又∵b2+c2=a2+bc且b2+c2=4， ∴4=+bc， 解得bc=1；     …（10分） ∴S△ABC===．…（12分） ‎ ‎【解析】（1）利用余弦定理以及特殊角的三角函数值，即可求出角A的值； （2）由正弦定理求出a的值，再根据题意求出bc的值，从而求出三角形的面积． 本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值应用问题，是基础题目． 21.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点， ∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0， ∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增， 从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5， 由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点， ∴函数f（x）有两个零点时实数a 的范围为：． （Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]， 当m=0时，，显然成立； 当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴， 记，由题意得：B⊆A， ∴且，解得：， 当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴， ∴且，得， 综上，所求实数m的取值范围为． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围． （Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=lnx-x2+x． ∵． 易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减， ∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值． （Ⅱ）． ∴． ①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增； ②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得， 所以F（x）在单调递增，在单调递减． 综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减． （Ⅲ）由题知t≥0，． 当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2． 又g（x）单调递减， ∴不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]． 即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立， 记，则h（x）在[1，2]递减．  对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立． 令． 则 在[1，2]上恒成立， 则， 而在[1，2]单调递增， ∴， ∴． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=lnx-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值． （Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间． （Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]． 即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．  对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t 的取值范围 本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题． ‎