人教A版理科数学课时试题及解析（41）空间向量及运算

人教A版理科数学课时试题及解析（41）空间向量及运算

课时作业(四十一)　[第41讲　空间向量及运算]‎ ‎[时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－‎2a，则x等于(　　)‎ A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)‎ C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)‎ ‎2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与‎2a－b互相垂直，则k的值是(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎3．与向量a＝(6,7，－6)平行的单位向量是(　　)‎ A. B.或 C. D.或 ‎4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．如图K41－1，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　)‎ 图K41－1‎ A. B. C. D. ‎6．已知a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝(　　)‎ A．17＋6 B．17－6 C. D. ‎7．如图K41－2，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ 图K41－2‎ A. B. C．1‎ D. ‎8． 到点A(－1，－1，－1)和点B(1,1,1)的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足(　　)‎ A．x＋y＋z＋1＝0 B．x＋y＋z－1＝0‎ C．x＋y＋z＝0 D．x＋y－z＝0‎ ‎9．若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是(　　)‎ A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b ‎10．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．‎ ‎11．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．‎ ‎12． 在平面直角坐标系中，由点A(a,0)，B(0，b)(ab≠0)确定的直线的方程为＋＝1，类比到空间直角坐标系中，由A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)(abc≠0)确定的平面的方程可以写成________．‎ ‎13．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．‎ ‎14．(10分)若(a＋b)⊥(‎2a－b)，(a－2b)⊥(‎2a＋b)，试求cos〈a，b〉．‎ ‎15．(13分)把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：‎ ‎(1)EF的长；‎ ‎(2)折起后∠EOF的大小．‎ ‎16．(12分)已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，求点Q的坐标．‎ 课时作业(四十一)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] 由于b＝x－‎2a，则x＝2b＋‎4a＝2(－4，－3，－2)＋4(2,3，－4)＝(0,6，－20)．‎ ‎2．D　[解析] 由于ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，‎2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，而两向量互相垂直，则有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝.‎ ‎3．B　[解析] 设与a平行的单位向量为b＝(x，y，z)，则x2＋y2＋z2＝1，且x＝6λ，y＝7λ，z＝－6λ，所以λ＝±，则b＝或.‎ ‎4．C　[解析] 由于b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)，‎ 则|b－a|＝＝＝≥.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．C　[解析] B点坐标为(1,1,0)，E点坐标为，则＝＝.‎ ‎6．C　[解析] 由|a＋b＋c|＝求得正确选项为C.‎ ‎7．D　[解析] ＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.‎ ‎8．C　[解析] 由空间两点间距离公式可得x＋y＋z＝0.‎ ‎9．C　[解析] 对于实数λ、μ，形如λa＋μb的向量都与向量a，b是共面向量．因为a＝＋(a－b)，故选项A中的三个向量共面；因为b＝(a＋b)－(a－b)，故选项B中的三个向量共面；因为a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，故选项D中的三个向量共面．对选项C，我们设c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)，则(λ＋μ)a＋(λ－μ)b－c＝0，由于{a，b，c}为空间的一个基底，故a，b，c不共面，所以(λ＋μ)a＋(λ－μ)b－c＝0⇔λ＋μ＝0，λ－μ＝0，－1＝0，这显然是不可能成立的，故选项C中的三个向量是不共面的，正确选项为C.‎ ‎10.　[解析] 向量a在向量b的方向上的投影等于|a|·cos〈a，b〉＝|a|＝＝.‎ ‎11．120°　[解析] 由于＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，则cosθ＝cos〈，〉＝＝－，‎ 则θ＝120°.‎ ‎12.＋＋＝1　[解析] 根据平面上点的坐标、距离公式、中点坐标公式到空间的情况进行类比．通过直线方程的结构形式，可以类比得出平面的方程为＋＋＝1.‎ ‎13.　[解析] 如图，＝＋＋＝＋＋，‎ 所以|AC′|＝||＝|＋＋|‎ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎14．[解答] 由于(a＋b)⊥(‎2a－b)，‎ 则(a＋b)·(‎2a－b)＝‎2a2－b2＋a·b ‎＝2|a|2－|b|2＋|a|·|b|cos〈a，b〉‎ ‎＝0，即cos〈a，b〉＝，‎ 又(a－2b)⊥(‎2a＋b)，则 ‎(a－2b)·(‎2a＋b)＝‎2a2－2b2－‎3a·b ‎＝2|a|2－2|b|2－3|a|·|b|cos〈a，b〉‎ ‎＝0，‎ 即cos〈a，b〉＝，‎ 所以＝，即5|b|2＝8|a|2，即|b|＝|a|，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ ‎15．[解答] 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A0，－a,0，Ba,0,0，C0，a,0，D0,0，a，E0，－a，a，Fa，a,0.‎ ‎(1)||2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a.‎ ‎(2)＝，＝，‎ ·＝0×a＋×＋a×0＝－，‎ ‎||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－，‎ ‎∴∠EOF＝120°.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] 设＝λ＝(λ，λ，2λ)，‎ 则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，‎ ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，‎ ‎∴·＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，‎ ‎∴当λ＝时，·取得最小值－，‎ 此时＝，即Q.‎