【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第三章 第2讲 导数与函数的单调性作业
第2讲 导数与函数的单调性
[基础题组练]
1.函数f(x)=ex-ex,x∈R的递增区间是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
解析:选D.由题意知,f′(x)=ex-e,令f′(x)>0,解得x>1,故选D.
2.(2020·河南省六校第二次联考)函数y=x++2ln x的递减区间是( )
A.(-3,1) B.(0,1)
C.(-1,3) D.(0,3)
解析:选B.法一:令y′=1-+<0,得-3
0,故所求函数的递减区间为(0,1).故选B.
法二:由题意知x>0,故排除A、C选项;又f(1)=40时,函数f′(x)=,可得函数的极值点为:x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B、D满足题意.
当x<0时,函数f(x)=<0,选项D不正确,选项B正确.
4.(2020·唐山市摸底考试)设函数f(x)=x(ex+e-x),则f(x)( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数
B.是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
C.是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
D.是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
解析:选A.通解:由条件可知,f(-x)=(-x)(e-x+ex)=-x(ex+e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,f′(x)=ex+e-x+x(ex-e-x),当x>0时,ex>e-x,所以x(ex-e-x)>0,又ex+e-x>0,所以f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,故选A.
优解:根据题意知f(-1)=-f(1),所以函数f(x)为奇函数.又f(1)2,所以m≤2.故选C.
6.函数y=4x2+的增区间为________.
解析:由y=4x2+,得y′=8x-,
令y′>0,即8x->0,解得x>.
所以函数y=4x2+的增区间为.
答案:
7.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf′(x)≥0的解集为 .
解析:由f(x)图象特征可得,
f′(x)在和[2,+∞)上大于0,在上小于0,
所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2,
所以xf′(x)≥0的解集为∪[2,+∞).
答案:∪[2,+∞)
8.若f(x)=xsin x+cos x,则f(-3),f,f(2)的大小关系为 (用“<”连接).
解析:由题意知,函数f(x)为偶函数,
因此f(-3)=f(3).
又f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
当x∈时,f′(x)<0.所以f(x)在区间上是减函数,所以f>f(2)>f(3)=f(-3).
答案:f(-3)0,解得x>1或x<-;
令f′(x)<0,解得-0时,由F′(x)<0,得x<-ln a,
由F′(x)>0,得x>-ln a.
故当a≤0时,函数F(x)在R上是减少的;
当a>0时,函数F(x)在(-∞,-ln a)上是减少的,在(-ln a,+∞)上是增加的.
[综合题组练]
1.(2020·郑州市第二次质量预测)函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,f′(x)为其导函数,若xf′(x)+f(x)=ex(x-2)且f(3)=0,则不等式f(x)<0的解集为( )
A.(0,2) B.(0,3)
C.(2,3) D.(3,+∞)
解析:选B.令g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),则g′(x)=xf′(x)+f(x)=ex(x-2),可知当x∈(0,2)时,g(x)=xf(x)是减函数,当x∈(2,+∞)时,g(x)=xf(x)是增函数.又f(3)=0,所以g(3)=3f(3)=0.在(0,+∞)上,不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集,又g(0)=0,所以f(x)<0的解集是(0,3),故选B.
2.设函数f(x)=x-,且f(mx)+mf(x)<0对任意x∈[1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析:由f(mx)+mf(x)<0得mx-+mx-<0对任意x∈[1,+∞)恒成立,整理得2mx<恒成立,即2mx20时,2x2<1+,显然当x=1时y=2x2取得最小值为2,无最大值,不符合题意;当m<0时,2x2>1+,当x=1时y=2x2取得最小值为2,1+<2,解得m<-1.综上,实数m的取值范围是m<-1.
答案:(-∞,-1)
3.设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(1)求b,c的值;
(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在递减区间,求实数a
的取值范围.
解:(1)f′(x)=x2-ax+b,
由题意得即
故b=0,c=1.
(2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0),
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;
当x∈(0,a)时,f′(x)<0;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
所以函数f(x)的增区间为(-∞,0),(a,+∞),减区间为(0,a).
(3)g′(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立.
则存在x∈(-2,-1)使-a>-x-成立,
即-a>.
因为x∈(-2,-1),所以-x∈(1,2),
则-x-≥2=2,
当且仅当-x=-,即x=-时等号成立,
所以-a>2,则a<-2.
所以实数a的取值范围为(-∞,-2).
4.(2020·成都七中检测)设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当x>1时,g(x)>0.
解:(1)由题意得f′(x)=2ax-=(x>0).
当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上是减少的.
当a>0时,由f′(x)=0有x=,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减少的;
当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增加的.
(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s′(x)=ex-1-1.当x>1时,s′(x)>0,所以s(x)>s(1),即ex-1>x,从而g(x)=-=>0.