宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题 一､选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，再根据集合交集定义运算即可.‎ ‎【详解】因为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数的不等式组，解出即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.在中，已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先通过余弦定理求出，再利用三角形内角和为求出.‎ ‎【详解】解：由余弦定理得，‎ 则，‎ 又，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题.‎ ‎4.若,,则( )‎ A. B. C. D. 以上均有可能 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质直接求解.‎ ‎【详解】若,,‎ 则,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的基本性质,属于基础题.‎ ‎5.已知向量,,若,则( ).‎ A. -3 B. ‎3 ‎C. 2 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标公式列式求解.‎ ‎【详解】向量,,若,‎ 则,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标公式,属于基础题.‎ ‎6.如果等差数列中，++=12，那么++…+=（ ）‎ A. 14 B. ‎21 ‎C. 28 D. 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：等差数列中，，则 考点：等差数列的前项和 ‎7.若，，，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【详解】解：∵，，， ，‎ 当且仅当时取等号. ∴的最小值是. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.‎ ‎8.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，,故选D.‎ 考点：点线面的位置关系.‎ ‎9.若,且,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式求出,,再利用二倍角公式即可求解.‎ ‎【详解】若,且,‎ 则,,‎ 所以 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的综合运用,难度不大.‎ ‎10.已知命题:，，命题:是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数与对数函数的单调性即可判断出命题的真假.利用幂函数即可判断出命题的真假.‎ ‎【详解】解：命题:，，是真命题. 命题:是定义域上的增函数，因此是假命题. ∴下列命题中为真命题的是. 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数与对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎11.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（ ）.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）‎ A. 92 B. ‎39 ‎C. 80 D. 60‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD 中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.‎ ‎【详解】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，‎ ‎ 则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝‎46m， ， 根据正弦定理 得. 故选：D.‎ ‎【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.‎ ‎12.已知数列满足，且，则的最小值为（ ）‎ A. 21 B. ‎10 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由累加法求出，所以，设，由此能导出或时有最小值，借此能得到的最小值.‎ ‎【详解】解：‎ ‎ 所以 设，由对勾函数的性质可知，‎ 在上单调递减，在上单调递减，‎ 又因为，所以当或时可能取到最小值. 又因为， 所以的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.‎ 二､填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.直线与圆交于两点，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.‎ ‎【详解】根据题意，圆的方程可化为，‎ 所以圆的圆心为，且半径是，‎ 根据点到直线的距离公式可以求得，‎ 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.‎ ‎14.已知等比数列，若，，则________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用等比数列性质得，再利用等比数列的通项公式列方程求出公比，进而可得.‎ ‎【详解】解：由得，‎ ‎，‎ 设等比数列的公比为，‎ 则由得，‎ 解得或，‎ 所以或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查学生计算能力，是基础题.‎ ‎15.设内角所对的边分别为，若，则的形状为_______‎ ‎【答案】直角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理,将条件式子转化为角的表达式,结合正弦的和角公式即可求得角A,进而判断三角形形状.‎ ‎【详解】因为 由正弦定理可得 即,而 所以 因为在三角形中 所以 所以,即为直角三角形 故答案为: 直角三角形 ‎【点睛】本题考查了三角函数恒等变形及三角形形状的判断,正弦定理边角转化的应用,属于基础题.‎ ‎16.已知实数满足则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】画出不等式组表示的平面区域，‎ 由图可知原点到直线距离的平方为的最小值，为，原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为，因此的取值范围为 ‎【考点】线性规划 ‎【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.‎ 三､解答题(本题共6小题,共70分,要写出必要的文字叙述､演算步骤及推理过程)‎ ‎17.已知关于的不等式对于所有的实数都成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和讨论，当时需，且对应二次方程的判别式小于0，联立不等式求解的取值范围.‎ ‎【详解】解：当时，原不等式可化为，即. 不满足题意； 当时，要使不等式对于所有的实数都成立， 则，即. 解得：. 综上，使不等式对于所有的实数都成立的的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”结合求解含参数的范围问题，是中档题.‎ ‎18.在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.‎ 解，即可求出a，c；（2） 在中，利用同角基本关系得 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.‎ ‎（1）由得，，又，所以ac=6.‎ 由余弦定理，得.‎ 又b=3，所以.‎ 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.‎ 因为a>c,∴ a=3，c=2.‎ ‎（2）在中，‎ 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.‎ 于是=.‎ 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.‎ ‎19.已知等差数列满足：，．的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得 解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，‎ 解得，所以，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即数列的前项和.‎ 考点：等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和 ‎20.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别是、的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，即可证明 ‎（2）取的中点，连接，证明即可 ‎（3）利用直接计算 ‎【详解】（1）∵三棱柱中，侧棱垂直于底面，∴.‎ ‎∵，，，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）取的中点，连接.‎ ‎∵是的中点，∴.‎ ‎∵是的中点，∴，，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴.‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（3）∵，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本题考查的是立体几何中线面平行和垂直的证明，要求我们要熟悉并掌握平行与垂直有关的判定定理和性质定理，在证明的过程中要注意步骤的完整.‎ ‎21.设三个内角的对边分别为,的面积满足 ‎.‎ ‎(1)求角的值;‎ ‎(2)求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合同角的商数关系，可得角的值；（2）由三角形的内角和定理，可得，运用两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．‎ 试题解析：(1)‎ ‎,求得,‎ 所以.‎ ‎(2)因为,所以,即;‎ 经三角变换得 因为,所以,,‎ 所以.‎ ‎22.已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，求 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列S3=12,等差中项的性质，求得a2=4，结合 ‎2a1，a2，a3+1成等比数列，得a22=2（a2-d）（a2+d+1），进而求得的通项公式；（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和.‎ ‎【详解】设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴‎3a2=12，∴a2=4，‎ 又∵‎2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），‎ ‎∴an=a2+（n-2）d=3n-2‎ ‎（2） ，∴ ①‎ ‎①× 得 ②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，以及等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于{}型数列，其中分别是等差数列和等比数列.‎