2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第四章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质
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第4节 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义
域
R
R
{x
x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小
正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增
区间
[2kπ－π，2kπ]
递减
区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称
中心
(kπ，0)
对称轴
方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
[常用结论与微点提醒]
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中，是奇函数的是( )
A.y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x
C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x
解析 选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y
＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
答案 C
3.(老教材必修4P36T2改编)函数y＝－cos＋3的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A.T＝π A＝ B.T＝ A＝
C.T＝4π A＝ D.T＝2π A＝－
解析 T＝＝4π，A＝＋3＝.
答案 C
4.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A. B.1 C. D.
解析 cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
答案 A
5.(2019·北京卷)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________.
解析 由降幂公式得f(x)＝sin2 2x＝＝－cos 4x＋，所以最小正周期T＝＝.
答案
6.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.
解析 由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1.所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝－.
答案 －
考点一 三角函数的定义域
【例1】 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
解析 (1)要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.
(2)函数有意义，则即
解得
所以2kπ
0)图象的一个对称中心为M，距离点M最近的一条对称轴为直线x＝，则ω＝________.
解析 (1)因为函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，
所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称.
(2)函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin，因为图象的对称中心为M，距离点M最近的一条对称轴为x＝，所以－＝，即T＝.故ω＝＝3.
答案 (1)C (2)3
规律方法 1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.
【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A. B.
C. D.
(2)(角度2)(2020·武汉调研)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝( )
A.－ B. C.－ D.
解析 (1)由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，
得ω＝.
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，
即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心坐标为.
(2)f(x)＝sin－cos＝2sin，
由题意可得f(0)＝2sin＝±2，
即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.
答案 (1)A (2)A
考点四 三角函数的单调性 多维探究
角度1 求三角函数的单调区间
【例4－1】 (1)(2020·岳阳质检)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
(2)函数f(x)＝tan的单调递增区间是______.
解析 (1)由2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)得，
4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，
又x∈[－2π，2π]，所以－≤x≤.
故y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间为.故选A.
(2)由kπ－<2x＋0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
解析 由0得＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，
得k＝0，所以ω∈.
答案
规律方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【训练4】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)(角度2)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
解析 (1)函数的解析式可化为f(x)＝－2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)f(x)＝cos x－sin x＝cos，
由题意得a>0，故－a＋<，
因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，
所以解得00，∴当k＝0时，ωmin＝，故选D.
答案 D
4.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x10，则f(x)可以为( )
A.f(x)＝cos B.f(x)＝|sin(π＋x)|
C.f(x)＝－tan x D.f(x)＝1－2cos22x
解析 ∵f(x)＝cos＝－sin x为奇函数，∴排除A；f(x)＝－tan x
为奇函数，∴排除C；f(x)＝1－2cos22x＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为(k∈Z)，排除D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sin x|为偶函数，且在上单调递增.
答案 B
5.(2019·昆明诊断)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质( )
A.周期为π，最大值为1，图象关于直线x＝对称，为奇函数
B.周期为π，最大值为1，图象关于点对称，为奇函数
C.周期为π，最大值为1，在上单调递减，为奇函数
D.周期为π，最大值为1，在上单调递增，为奇函数
解析 将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)＝cos＝sin 2x的图象，则函数g(x)的周期为π，最大值为1，在上单调递增，且为奇函数，故选D.
答案 D
二、填空题
6.函数y＝cos的单调递减区间为________.
解析 由y＝cos＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z).
答案 (k∈Z)
7.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f
eq lc(
c)(avs4alco1(f(π,4)))＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.
答案
8.(2020·合肥调研)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________(填序号).
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
解析 函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)的图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.
B级 能力提升
11.(2020·山西百日冲刺)已知函数f(x)＝
则下列结论正确的是( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的图象关于直线x＝对称
D.f(x)在处取得最大值
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知函数f(x
)不是周期函数，所以A不正确；同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B不正确；
若x>0，则f＝cos＝(cos x－sin x)，
f＝sin＝(cos x－sin x)，
此时f＝f；
若x≤0，则f＝sin＝(cos x＋sin x)，
f＝cos＝(cos x＋sin x)，
此时f＝f，综上，恒有f＝f，即图象关于直线x＝对称，所以C正确；当x＝时，f＝cos ＝0不是函数的最大值，所以D错误，故选C.
答案 C
12.(2019·长沙模拟)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点，设∠BPC＝θ，若tan ＝，则f(x)图象的对称中心可以是( )
A.(0，0) B.(1，0)
C. D.
解析 由已知作出图形，连接BC，过P作BC的垂线，如图所示.
由题意知A＝2.又∠BPC＝θ，所以tan ＝＝，解得BC＝6，所以T＝6＝，又∵ω>0，解得ω＝.所以f(x)＝2sin.将点P(1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin
＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).令k＝0，得φ＝，所以f(x)＝2sin.令x＋＝mπ(m∈Z)，解得x＝3m－(m∈Z).令m＝1，得x＝，即f(x)图象的对称中心可以是.故选D.
答案 D
13.若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，
∴解得≤a<.
答案
14.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.
解 (1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，
∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
C级 创新猜想
15.(开放题)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1，将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可以是________(答案不唯一，写出一个即可).
解析 f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y＝2sin，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＋1的图象，则函数g(x)的值域为[－1，3]，又g(x1)g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝g(x)max＝3，则|x1－x2|＝nT(n∈N，T为g(x)的最小正周期)，又T＝，故|x1－x2|＝(n∈N)，故可填.
答案 (答案不唯一)
