2020届二轮复习排列组合问题的常见模型教案（全国通用）

2020届二轮复习排列组合问题的常见模型教案（全国通用）

排列组合问题的常见模型1‎ 典例分析 排队问题 【例1】 三个女生和五个男生排成一排 ‎⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？‎ ‎⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？‎ ‎⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ （捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，‎ 这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有种不同的排法，因此共有种不同的排法．‎ ‎⑵ （插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任间两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法．‎ ‎⑶ （间接法）个女生和个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排末位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法．‎ 【例2】 个人站成一排：‎ ‎⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？‎ ‎⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？‎ ‎⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？‎ ‎⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴（捆绑法）因为甲、乙两人必须相邻，‎ 可视甲、乙在一起为一个元素与其他人有种排法，而甲、乙又有种排法，根据分步计数原理共有种排法．‎ ‎⑵（插空法）甲、乙两人外的其余人有种排法，要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有种排法，所以共有种排法；‎ ‎（间接法）用总的排法减去相邻的排法，即种排法．‎ ‎⑶（位置分析法）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余人中选人来站有种排法，剩下的人有种排法，共有种排法；‎ ‎（元素分析法）甲、乙两人不站排头和排尾，故可以用中间四个位置中选个站甲、乙，有 种排法，其它人站在余下的个位置上，有种排法，共有种排法；‎ ‎（间接法）六人全排有种排法，除去甲站排头、甲站排尾、乙站排头和乙站排尾的种，补上重复减去的甲、乙都在排头排尾的种排法，共有排法种．‎ ‎⑷甲站排头有种排法，乙站排尾有种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有种排法，故共有种排法．‎ 【例1】 ‎7名同学排队照相．‎ ‎⑴ 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？‎ ‎⑵ 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？‎ ‎⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？‎ ‎⑷ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】分析：⑴ 可分两步完成；第一步，从7人中选出3人排在前排，‎ 有种排法；第二步，剩下的4人排在后排，有种排法，故一共有种排法．事实上排两排与排成一排一样，只不过把第个位子看成第二排而已，排法总数都是，相当于7个人的全排列．‎ ‎⑴ 种．‎ ‎⑵ 第一步安排甲，有种排法；第二步安排乙，有种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有种．‎ ‎⑶ 第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，和其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有 种排法．由分步计数原理得，共有种排法．‎ ‎⑷ 第一步，4名男生全排列，有种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有种插入方法．由分步计数原理得，符合条件的排法共有：种．‎ 点评：⑴ 相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．‎ ‎⑵ 不相邻问题用“插空法”，即先安排好无限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．‎ 【例1】 个队员排成一排，‎ ‎⑴共有多少种不同的排法？‎ ‎⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？‎ ‎⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴个队员排成一排，作全排列，共有种排法；‎ ‎⑵由于甲的位置已确定，其余人可任意排列，有种排法．‎ ‎⑶要计算甲不排在排头和排尾有以下三种方法：‎ 法一：要使甲不在排头和排尾，可先让甲在中间个位置中任选个位置，有种站法；‎ 然后对其余人在另外个位置上作全排列有种站法．‎ 根据分步计数原理，共有排法（种）‎ 法二：由于甲不站排头和排尾，这两个位置只能在其余个人中，选个人站，有种站法；‎ 对于中间的四个位置，个人有种站法．‎ 根据分步计数原理，共有排法（种）‎ 法三：若对甲没有限制条件，共有 种排法，‎ 这里面包含下面三种情况：①甲在排头；②甲在排尾；③甲不在排头，也不在排尾．‎ 甲在排头有种站法；甲在排尾有种站法，这都不符合题设条件，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的排法数，共有（种）‎ 【例2】 五个字母排成一排，若的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】先按顺序排好，它们之间及两端共有4个空，把D插入，有种；‎ 然后将E插入形成的空中，有种，故共有种排法．‎ 【例1】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，‎ ‎5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，辽宁高考 ‎【解析】略 ‎【答案】此题是捆绑法和插空法的应用问题．把相邻的两个数捆成一捆，分成四个空，然 后再将7与8插进空中有种插法；而相邻的三捆都有种排法，在它们之间又有种排序方法．故这样的八位数共有：（个）．‎ 【例2】 记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　 ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，北京高考 ‎【解析】先对五名志愿者全排，再将两位老人看成一个元素，‎ 插入五名志愿者中间的四个空档中，最后两位老人之间全排，共有排法（种）；‎ ‎【答案】B；‎ 【例3】 名同学合影，站成前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，安徽高考 ‎【解析】从后排个人中选择两人，前排加两个人后共个六个位置，‎ 从中选择两个位置将选出的两个以一定的顺序排入，故共有不同的调整办法．‎ ‎【答案】C；‎ 【例4】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）‎ A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，北京高考 ‎【解析】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，‎ 且两位老人有左右顺序，共有种不同的排法，选B．‎ ‎【答案】B；‎ 【例1】 在数字与符号五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】思路提示：数字的排列有，符号的排列有．‎ ‎【答案】B；‎ 【例2】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】先把3种品种的画看成整体，而水彩画优先考虑只能放在中间，‎ 油画与国画有种，同一品种画之间又可以进行全排列，故方法总数为种．‎ 【例3】 ‎6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】用间接法，6人全排列有种，减去甲站排头的种，减去乙站排尾的种，‎ 但是其中甲站排头且乙站排尾的排法多减了一次，故再加上这种共 种，因此排法数有种 ‎【答案】504；‎ 【例1】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，‎ 设空座依次编号为1、2、3、4、5、6、7．先选定两个空位，可以1、2号位，也可以在2、3号位……共有六种可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在1、2号位，则另一空位可以在4、5、6、7号位，有4种可能，相邻空位在6、7号位，亦如此．如果相邻位在2、3号位，另一空位可以在5、6、7号位，只有3种可能，相邻空位在3、4号，4、5号，5、6号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类．本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻．‎ 解析：解法1：就两相邻空位的位置分类：‎ 若两相邻空位在1、2或6、7，共有（种）坐法．‎ 若两相邻空位在2、3，3、4，4、5或5、6，共有（种）不同坐法，所以所有坐法总数为（种）．‎ 解法2：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有种不同方法．三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隙中，有种不同方法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为（种）．‎ ‎【答案】480；‎ 【例2】 位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，四川高考 ‎【解析】位同学站成一排，位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 种，其中男生甲站两端的有种，所求排法有．‎ 或由题意有．‎ ‎【答案】B；‎ 【例1】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】不妨设5个位置为1，2，3，4，5，3号位随意放入一个物质，有种选法；‎ 不妨设为火，则金，水都只能选择1号位或者5号位，共有种选择，剩下的木，土都别无选择．方法数共有．‎ ‎【答案】10；‎ 【例2】 在的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】5星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，四川联赛 ‎【解析】先让数字、、、作全排列，有种；再排数字，‎ 由于数字不与相邻，在排好的排列中，、、、之间以及首末位共有个空隙，除开的左右两个空隙，还有个空隙可以排数字，故数字有种排法；最后排数字、，在剩下的个空隙中，排上数字、，共有种排法．因此，共有种．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 从集合与中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】分三种情况：情况1．不含、的排列：；‎ 情况2．、中只含一个元素的排列：；情况3．只含元素的排列：．‎ 综上符合题意的排法种数为．‎ 当然也可以用间接法，．‎ ‎【答案】5832；‎ 【例1】 从集合与中各任取个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】4星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】分三种情况：情况1．不含、、的排列：；‎ 情况2．只含、中一个元素，且不含的排列：；情况3．只含元素0的排列：．‎ 综上符合题意的排法种数为．‎ ‎【答案】8424‎ 【例2】 个人坐在一排个座位上，问 ‎⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?‎ ‎⑵ 个空位只有个相邻的坐法有多少种?‎ ‎⑶ 个空位至多有个相邻的坐法有多少种?‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】个人排有种，人排好后包括两端共有个“间隔”可以插入空位．‎ ‎⑴ 空位不相邻相当于将个空位安插在上述个“间隔”中，有种插法，故空位不相邻的 坐法有种．‎ ‎⑵ 将相邻的个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往个“间隔”里插有种 插法，故个空位中只有个相邻的坐法有种．‎ ‎⑶ 个空位至多有个相邻的情况有三类：‎ ‎①个空位各不相邻有种；‎ ‎②个空位个相邻，另有个不相邻有种；‎ ‎③个空位分两组，每组都有个相邻，有种．‎ 综合上述，应有种坐法． ‎ 【例1】 位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】4星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，四川高考 ‎【解析】位同学站成一排，先考虑位女生中有且只有两位女生相邻的全部排法，‎ 将男生全排，再女生分成两组，采用插空法，故有种，其中男生甲站两端时，先选择一端，再对另两名男生全排，最后插空时有一个空（甲所在的排头或排尾）不能放女生，共有种，所求排法有．‎ 也可先考虑三名男生的排列，分成甲在中间和甲在两边的两种情况，‎ 由题意有种排法．‎ ‎【答案】B；‎ 【例2】 ‎12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，安徽高考 ‎【解析】从后排8人中选2人共种选法，‎ 这2人插入前排4人且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故有种插法，综上知答案：选C．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本．将它们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是_______．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】从两部不同的长篇小说本书的排列方法有种，‎ 左边本恰好都属于同一部小说的排列方法有种．所以， 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是 种．‎ ‎【答案】；‎ 【例1】 年月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对列电煤货运列车进行编组调度，决定将这列列车编成两组，每组列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组列列车先开出，那么这列列车先后不同的发车顺序共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，海淀1模 ‎【解析】在先开出的三列列车中，选择一个位置放甲，在后开出的三列列车中，‎ 选择一个位置放乙，其它四辆列车全排即可，不同的发生顺序有：（种）．‎ ‎【答案】C；‎ 数字问题 【例2】 给定数字、、、、、，每个数字最多用一次，‎ ‎⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？‎ ‎⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】注意不能放在首位，还要注意个位数字，方法多种多样，‎ 利用特殊优先法，即特殊的元素，特殊的位置优先考虑．‎ ‎⑴法一（位置分析法）‎ 从“位置”考虑，由于不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余个数位可以从余下的个数字（包括）中任取个排列，所以可以组成个四位数；‎ 法二（元素分析法）‎ 从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字分成两类，有数字的先排的位置，有个，无数字的有个，所以共组成个四位数；‎ 法三（排除法）‎ 从个元素中取个元素的所有排列中，减去在首位上的排列数即为所求，所以共有个四位数；‎ ‎⑵个位数字必须是奇数有种排法，由于不能放在首位，因此首位数字只能有 种取法，其余两个数位的排法有，所以共有个四位奇数；‎ ‎⑶法一：由⑴⑵知共有个四位偶数；‎ 法二：从“位置”考虑，按个位数字是否为分成两种情况，在个位时，有个四位偶数；在个位时，有个四位偶数，所以共有个四位偶数；‎ ‎⑷一位数：有个；两位数：有个；三位数：有个；‎ 四位数：有个；五位数：有个；六位数：有个；‎ 所以共有个自然数．‎ 【例1】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；‎ ‎②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0，2，4，6，8，从限制条件入手，可划分如下：‎ 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上），由此得解法一．‎ 如果四位数划分四位奇数和四位偶数两类，先求出四位奇数的个数，用排除法，得解法二．‎ 如果从千位数入手，四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此还有解法．‎ ‎ [解法1]当个位数上排“0”时，有个；当个位数排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：个 ‎∴没有重复数字的四位偶数有 个．‎ ‎[解法2]将没有重复数字的四位数字划为分两类：四位奇数和四位偶数．‎ 没有重复数字的四位数有个．‎ 其中四位奇数有个 ‎∴没有重复数字的四位偶数有 个 ‎【答案】2296‎ 【例2】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准．‎ 解析：第一类：五位数中不含数字零．‎ 第一步：选出5个数字，共有种选法．‎ 第二步：排成偶数——先排末位数，有种排法，再排其它四位数字，有种排法．‎ ‎∴（个）‎ 第二类：五位数中含有数字零．‎ 第一步：选出5个数字，共有种选法．‎ 第二步：排顺序又可分为两小类；‎ ‎⑴ 末位排零，有种排列方法；‎ ‎⑵ 末位不排零，这时末位数有种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有种排法，其余3个数字则有种排法．‎ ‎∴‎ ‎∴符合条件的偶数个数为 ‎（个）‎ ‎【答案】4560‎ 【例1】 用排成一个数字不重复的五位数，满足的五位数有多少个？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】因为，所以只能是3、4、5．‎ ‎⑴若，则，与是1或2，这时共有个符合条件的五位数．‎ ‎⑵若，则，可以是1、2、3，共有个符合条件的五位数．‎ ‎⑶若，则或4，此时分别与⑴⑵情况相同．‎ 所以，满足条件的五位数有个．‎ ‎【答案】16；‎ 【例2】 用这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是，则这样的四位数共有多少个？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】若千位数字与个位数字中有一个为，则另一个为，且只能在个位，‎ 在千位，这样的四位数有个．若千位与个位都不含有，则应为与，与，与，与，与，与，与，这样的四位数有个．‎ 因此共有个符合条件的四位数．‎ ‎【答案】840；‎ 【例1】 用数字组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，天津高考 ‎【解析】个位、十位和百位上的数字为个偶数时，‎ 分成这个偶数包括与不包括两类，共有：种；个位、十位和百位上的数字为个偶数个奇数的也分成其中的偶数为与不为的两类，有种，所以共有个．‎ ‎【答案】324；‎ 【例2】 有张分别标有数字的红色卡片和张分别标有数字的蓝色卡片，从这张卡片中取出张卡片排成一行．如果取出的张卡片所标数字之和等于，则不同的排法数一共有 种．‎ ‎；‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，天津高考 ‎【解析】数字之和为的情况有、、．‎ 所以共有种不同排法（先选后排）．‎ ‎【答案】432‎ 【例3】 有张卡片分别标有数字，，，，，，，，从中取出张卡片排成行列，要求行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为，则不同的排法共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，天津高考 ‎【解析】第二行有四种取法，在第二行取定后，‎ 不考虑约束条件，其它四个空共有种取法，除去第一行或第三行数字和为的种取法（其中第二行已经取定，和为的数字还有一组，可以在第一行或第三行，且有顺序上的不同，故有四种填法，剩下的两空有种排法），故总的排法有种．‎ ‎【答案】B；‎ 【例1】 有张分别标有数字的红色卡片和张分别标有数字的蓝色卡片，从这张卡片中取出张卡片排成一行．如果取出的张卡片所标数字之和等于，则不同的排法共有____种（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，天津高考 ‎【解析】数字之和为的情况有、、．‎ 所以共有种不同排法（先选后排）．‎ ‎【答案】432‎ 【例2】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，浙江高考 ‎【解析】先将3，5两个奇数排好，有种排法，再将4，6两个偶数插入3，5中，‎ 有种排法，最后将1，2当成一个整体插入5个空位中，所以这样的六位数的个数是．‎ ‎【答案】40；‎ 【例3】 用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，四川高考 ‎【解析】分类讨论：‎ ‎①若首位为或，则先选择首位与末位有种方法，再选择中间的三位有 种方法，共有种方法；‎ ‎②若首位为或，则首位有种选法，末位从与中选择，有种选法，剩下的三位全排，有种排法，共有种排法；‎ 故满足条件的数共有个．‎ ‎【答案】B；‎ 【例1】 从这个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】‎ ‎【答案】6；‎ 【例2】 求无重复数字的六位数中，能被整除的数有______个．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】因为能被3整除的数，它的各位数字之和能被3整除，‎ 所以将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字按被3除所得的余数分成四类，并将每一类所选取的个数列表如下：‎ 组别 各组中所选数个数 ‎1、4、7‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2、5、8‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3、6、9‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 前四类的6位数个数为，‎ 后四类的6位数个数为．‎ 共有个．‎ ‎【答案】46800‎ 【例3】 用数字组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数学作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，天津高考 ‎【解析】个位、十位和百位上的数字为个偶数的有：‎ 种；个位、十位和百位上的数字为个偶数个奇数的有：种，所以共有个．‎ ‎【答案】324‎ 【例1】 从这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】4星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】分类讨论：‎ 第一类：从中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为；‎ 第二类：取，此时和只能取一个，还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为．‎ 共有个数．‎ ‎【答案】C；‎ 【例2】 从这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，陕西高考 ‎【解析】分类讨论：‎ 第一类：从中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为；‎ 第二类：取，此时和只能取一个，还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为．‎ 共有个数．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 从到的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：‎ ‎⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？‎ ‎⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？‎ ‎⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？‎ ‎⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴分步完成：第一步在个偶数中取个，可有种情况；‎ 第二步在个奇数中取个，可有 种情况；第三步个偶数，个奇数进行排列，可有种情况，‎ 所以符合题意的七位数有个．‎ ‎⑵上述七位数中，三个偶数排在一起的有个．‎ ‎⑶上述七位数中，三个偶数排在一起，个奇数也排在一起的有个．‎ ‎⑷上述七位数中，偶数都不相邻，可先把个奇数排好，再将个偶数分别插入个空档，共有个．‎ 【例1】 用到这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；‎ ‎②数字“”不能排在千位数上；③个位数字只能是、、、、，从限制条件入手，可划分如下：‎ 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“”的四位偶数，个位数是、、、的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此法一与法二．‎ 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是、、、、和千位数是、、、两类，由此得法三．‎ 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位奇数个数的个数，用排除法，得法四．‎ 法一：‎ 当个位数上排“”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选个来排列，故有个；‎ 当个位上在“、、、”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 （个）．‎ ‎∴没有重复数字的四位偶数有个．‎ 法二：‎ 当个位数上排“”时，同解一有个；当个位数上排、、、‎ 中之一时，千位，百位，十位上可从余下个数字中任选个的排列数中，减去千位数是“”的排列数得：个，‎ ‎∴没有重复数字的四位偶数有个．‎ 法三：‎ 千位数上从、、、、中任选一个，个位数上从、、、、中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有个；‎ 千位上从、、、中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有个．‎ ‎∴ 没有重复数字的四位偶数有个．‎ 法四：‎ 将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．‎ 没有重复数字的四位数有 个，其中四位奇数有个．‎ ‎∴ 没有重复数字的四位偶数有 个．‎ ‎【答案】2296‎ 【例1】 有张分别标有数字的红色卡片和张分别标有数字的蓝色卡片，从这张卡片中取出张卡片排成一行．如果取出的张卡片所标数字之和等于，则不同的排法共有______种（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】数字之和为的情况有、、．‎ 所以共有种不同排法（先选后排）．‎ ‎【答案】432‎ 【例2】 在由数字组成的所有没有重复数字的位数中，大于且小于的数共有（ ）个 A．个　　　　　B．个　　　　C．个　　　D．个 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】法一：（直接法）‎ 当首位排，次位排时，有种；次位排、时有种，共计种；‎ 当首位排，有种，共计种；‎ 当首位排，次位排时，有种；次位排、时有种，共计种；‎ 以上总计种．‎ 法二：（间接法）‎ 不作限定时有种；‎ 当首位排或时，各有种，共计种不满足要求；‎ 当首位排，次位排时，有种；而次位排时有种，共计种不满足要求；‎ 当首位排，次位排时，有种；而次位排时有种，共计种不满足要求；‎ 因此共有种排法，即个数．‎ ‎【答案】C；‎ 【例1】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列，则_____．‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】所有4位偶数从小到大依次排列，千位为1的共有个，‎ 于是易知为千位为的最小偶数，即2018．‎ ‎【答案】A；‎ 【例2】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程，其中有实数根的有几个？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】二次方程要求不为0，故只能在1、3、5、7中选，没有限制；‎ 二次方程要有实根，需，再对分类讨论．‎ ‎⑴a只能在1、3、5、7中选一个有种，可在余下的4个中任取2个，有 种．故可组成二次方程个．‎ ‎⑵方程要有实根，需．‎ ‎，可在1、3、5、7中任取2个，有种；‎ ‎，b只能取5、7，b取5时，只能取1、3，共有个；取7时，可取1、3或1、5，有个．故有实根的二次方程共有个．‎ ‎【答案】18；‎ 【例1】 从中任选三个不同元素作为二次函数的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】抛物线经过原点，得，‎ 当顶点在第一象限时，，即，有种；‎ 当顶点在第三象限时，，即，则有种；‎ 共计有种．‎ ‎【答案】24；‎