【数学】2019届一轮复习人教A版 函数与方程 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 函数与方程 学案

第11讲　函数与方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．‎ ‎2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．‎ ‎2017·江苏卷，14‎ ‎2016·天津卷，8‎ ‎1．函数的零点问题是命题热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大．‎ ‎2．函数零点性质的应用主要是利用函数的零点个数求参数的范围．‎ 分值：5～8分 ‎1．函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．‎ ‎(2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__.‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个__c__也就是f(x)＝0的根．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎__两个__‎ ‎__一个__‎ 无 ‎3．二分法 ‎(1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ ‎(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)<0__，给定精确度ε.‎ 第二步，求区间(a，b)的中点x1．‎ 第三步，计算f(x1)：‎ ‎①若__f(x1)＝0__，则x1就是函数的零点；‎ ‎②若__f(a)·f(x1)<0__，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；‎ ‎③若__f(x1)·f(b)<0__，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．‎ 第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)．否则重复第二、第三、第四步．‎ ‎4．有关函数零点的结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．‎ ‎(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．‎ ‎(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　×　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　×　)‎ ‎(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－‎4ac<0时没有零点．　(　√　)‎ ‎(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　√　)‎ 解析　(1)错误．函数f(x)＝x2－1的零点为－1和1，而并非其与x轴的交点(－1,0)与(1,0)．‎ ‎(2)错误．函数f(x)＝x2－x在(－1,2)上有两个零点，但f(－1)·f(2)>0.‎ ‎(3)正确．当b2－‎4ac<0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点．‎ ‎(4)正确．由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间[a，b]上有且仅有一个交点，故正确．‎ ‎2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　A　)‎ A．y＝cos x　　　 B．y＝sin x C．y＝ln x　　　 D．y＝x2＋1‎ 解析　y＝cos x是偶函数，且存在零点；y＝sin x是奇函数；y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A．‎ ‎3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　B　)‎ A．0　　　 B．‎1　‎　　‎ C．2　　　 D．3‎ 解析　函数f(x)＝2x＋x3－2显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点，故选B．‎ ‎4．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(　C　)‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ex ‎0.37‎ ‎1‎ ‎2.72‎ ‎7.39‎ ‎20.09‎ x＋2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A．(－1,0)　　　 B．(0,1)　　　　‎ C．(1,2)　　　 D．(2,3)‎ 解析　设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．‎ ‎5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈__(2,3)__(填区间)．‎ 解析　由f(2)·f(3)<0可知x0∈(2,3)．‎ 一　函数零点的所在区间 判断函数零点所在区间的方法 ‎(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断．‎ ‎(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断．‎ ‎(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．‎ ‎【例1】 (1)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(　C　)‎ A．　　　 B． C．(1,2)　　　 D．(2,3)‎ ‎(2)若a0，‎ f＝1－log2＝1＋＝>0，f(1)＝1－0>0，‎ f(2)＝1－2log22＝－1<0，由f(1)f(2)<0知选C．‎ ‎(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)·(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．‎ 二　判断函数零点的个数 判断函数零点个数的方法 ‎(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．‎ ‎(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎【例2】 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的零点个数是(　C　)‎ A．2　　　 B．3‎ C．4　　　 D．多于4‎ ‎(2)函数f(x)＝的零点个数是__2__.‎ 解析　(1)由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出y＝log3|x|和y＝f(x)，x∈[－3,3]的图象，如图所示，由图可知零点个数为4.‎ ‎(2)当x≤0时，令f(x)＝0，即x2－2＝0，∴x＝(舍)或x＝－.当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，故f(x)在(1,3)上存在唯一零点，即f(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点，∴f(x)共有2个零点．‎ 三　函数零点的应用 函数零点应用问题的常见类型及解题策略 ‎(1)已知函数零点存在求参数．根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．‎ ‎(2)已知函数零点个数求参数．常利用数形结合法．‎ ‎(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小．‎ ‎【例3】 (1)若函数f(x)＝3ax＋1－‎2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　B　)‎ A．　　　　 B．(－∞，－1)∪ C．　　　　 D．(－∞，－1)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是(　A　)‎ A．(－∞，0)∪(1，＋∞)　　　 B．[－1,2)‎ C．[－1,0]∪(1,2]　　　 D．[0,1]‎ 解析　(1)要使函数在(－1,1)上存在一个零点，则有f(－1)·f(1)<0，即(－‎5a＋1)(a＋1)<0，所以(‎5a－1)(a＋1)>0，解得a>或a<－1，故选B．‎ ‎(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因为函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1．故选A．‎ ‎1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(　B　)‎ A．(0,1)　　　 B．(1,2)　　　‎ C．(2,3)　　　 D．(3,4)‎ 解析　因为f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(x)在(1,2)上必存在零点，故选B．‎ ‎2．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　A　)‎ A．a1时，f(x)＝log2x>0，所以f(f(x))－1＝log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，x＝4；当01时，f(x)的图象如图(2)所示．‎ ‎　　　‎ 图(1)　　　　　　　　图(2)‎ 当b∈(a2，a3]时，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，分别是x1＝，x2＝.综上，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．‎ 易错点　不会借助图象解决方程根的范围或根的个数问题 错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要找出两个函数，看它们的图象交点有几个．‎ ‎【例1】 已知函数f(x)＝则关于x的方程(f(x))2＋bf(x)＋c＝0有5个不同实数根的充要条件是(‎ ‎　　)‎ A．b<－2且c>0　　　 B．b>－2且c<0‎ C．b<－2且c＝0　　　 D．b≥－2且c＝0‎ 解析　令f(x)＝t，则方程为t2＋bt＋c＝0.‎ 设t1，t2为它的两个根，则f(x)＝t1和f(x)＝t2共有5个不同实根，y＝f(x)的图象如图所示．‎ 则t1>2，t2＝0，∴c＝0.‎ 由t2＋bt＝t(t＋b)＝0，得t1＝－b>2，∴b<－2，故选C．‎ 答案　C ‎【跟踪训练1】 已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　C　)‎ A．　　　 B． C．∪　　　 D．∪ 解析　要使函数f(x)在R上单调递减，只需解得≤a≤，因为方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f(x)|的图象有两个交点．如图所示．‎ 易知y＝|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为－1，又≤－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在x>0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋(‎4a－3)x＋‎3a(x<0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则 整理可得‎4a2－‎7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝.‎ 而当‎3a≤2，即a≤时，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈∪.‎ 课时达标　第11讲 ‎[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　A　)‎ A．(0,1)　　　 B．(1,2)‎ C．(2,3)　　　 D．(3,4)‎ 解析　f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．‎ ‎2．满足方程ln x＋x－4＝0的x0属于区间(　C　)‎ A．(0,1)　　　 B．(1,2)‎ C．(2,3)　　　 D．(3,4)‎ 解析　设f(x)＝ln x＋x－4，因为f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3＋3－4>0，故零点一定在区间(2,3)内．‎ ‎3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为(　B　)‎ A．4　　　 B．5‎ C．6　　　 D．7‎ 解析　令f(x)＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.‎ ‎4．已知方程|x2－a|－x＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为(　B　)‎ A．(0,4)　　　 B．(4，＋∞)‎ C．(0,2)　　　 D．(2，＋∞)‎ 解析　依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y1＝|x2－a|的图象与函数y2＝x－2的图象有两个不同的交点．如图，则>2，即a>4，故选B．‎ ‎5．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　B　)‎ A．(0,1)　　　　 B．(1，＋∞)‎ C．(－1,0)　　　　 D．(－∞，－1)‎ 解析　因为f(－x)＝e|－x|＋|－x|＝e|x|＋|x|＝f(x)，故f(x)是偶函数．当x≥0时，f(x)＝ex＋x是增函数，故f(x)≥f(0)＝1，由偶函数图象关于y轴对称，知f(x)在(－∞，0)上是减函数，值域为[1，＋∞)，作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是(1，＋∞)，故选B．‎ ‎6．已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，则f(x)＝0在区间[0,2 017]内根的个数为(　C　)‎ A．2 015　　　 B．1 008‎ C．2 017　　　 D．1 009‎ 解析　由f(x＋1)＝f(x－1)，可知f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)＝f(－x＋2)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为函数f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，所以函数f(x)＝0在区间[0,2 017]内根的个数为2 017，故选C．‎ 二、填空题 ‎7．若二次函数f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)上有两个零点，则实数a的取值范围为！！！　　###.‎ 解析　依据二次函数的图象有 即解得20时，f(x)＝2 017x＋log2 017x，则在R上函数f(x)零点的个数为__3__.‎ 解析　函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 017x＋log2 017x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一零点，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.‎ ‎9．已知函数f(x)＝有3个不同的零点，则实数a的取值范围是！！！　　###.‎ 解析　依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，此时00时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，‎ 于是有解得a>，‎ 因此，满足题意的实数a需满足即0恒成立，‎ 即对于任意b∈R，b2－4ab＋‎4a>0恒成立，‎ 所以有(－‎4a)2－4×(‎4a)<0⇒a2－a<0，‎ 解得00)．‎ ‎(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；‎ ‎(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ 解析　(1)∵x>0时，g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e时，y＝g(x)－m就有零点．所以m的取值范围是[2e，＋∞)．‎ ‎(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．‎ ‎∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.‎ ‎∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.‎ 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ ‎∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．‎