高考数学【理科】真题分类详细解析版专题8 立体几何（棱锥）（原卷版）

高考数学【理科】真题分类详细解析版专题8 立体几何（棱锥）（原卷版）

专题08 立体几何（棱锥）‎ ‎【2013年高考试题】‎ ‎（2013·辽宁理）（10）‎ 已知三棱柱 A． B． C． D． ‎ ‎（2013·上海理）19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=2,AD=1,A‎1A=1，证明直线BC1平行于平面DA‎1C，并求直线BC1到平面D‎1AC的距离.‎ ‎（2013·广东理）6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )‎ A . 若,,,则 B．若,,,则 C．若,,,则 D．若,,,则 ‎（2013·大纲理）19.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，，，和都是等边三角形.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小.‎ ‎（2013·大纲理）10.已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2013·北京理）17. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.‎ ‎（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.‎ ‎（2013·北京理）14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .‎ ‎（2013·安徽理）15.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。‎ ‎①当时，为四边形 ‎②当时，为等腰梯形 ‎③当时，与的交点满足 ‎④当时，为六边形 ‎⑤当时，的面积为 ‎（2013·福建理）19.（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱柱中，侧棱底面,‎ （1） 求证：平面 （2） 若直线与平面所成角的正弦值为，求的值 （3） 现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）‎ ‎（2013·广东理）18．（本小题满分14分）‎ 如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,‎ ‎.‎ C O B D E A C D O B E 图1‎ 图2‎ 为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.‎ ‎(Ⅰ) 证明:平面；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎（2013·湖南理）19．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱 ‎（I）证明：；‎ ‎（II）求直线所成角的正弦值。‎ ‎（2013·江西理）19（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F.‎ ‎（1）求证：AD⊥平面CFG；‎ ‎（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.‎ ‎（2013·辽宁理）18．（本小题满分12分）‎ 如图，‎ 求证：（I）‎ ‎（II）‎ ‎（2013·山东理）18.（本小题满分12分）‎ 如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，与交于，与交于点，连接。‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值。‎ ‎（2013·陕西理）18. (本小题满分12分)‎ 如图, 四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . ‎ ‎ (Ⅰ) 证明: A‎1C⊥平面BB1D1D; ‎ ‎ (Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. ‎ ‎（2013·天津理）(17) (本小题满分13分) ‎ 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. ‎ ‎ (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE; ‎ ‎(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值. ‎ ‎(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. ‎ ‎（2013·浙江理）20.如图，在四面体中，平面,.是的中点，是的中点，点在线段上，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面;‎ ‎（Ⅱ）若二面角的大小为，求的大小.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（18）如图，直棱柱ABC-中，D，E分别是AB，BB1的中点，=AC=CB=AB.‎ ‎（Ⅰ）证明： //平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.‎ ‎（2013·新课标I理）17、（本小题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°‎ ‎(1)若PB=，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA A B C P ‎（2013·新课标I理）18、（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC-A1B‎1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.‎ ‎（Ⅰ）证明AB⊥A‎1C;‎ ‎（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A‎1C 与平面BB‎1C1C所成角的正弦值。‎ A B C C1‎ A1‎ B1‎ ‎20.【2012高考真题上海理14】如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最 大值是 。‎ ‎21.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎24.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B‎1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.‎ ‎25.【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分）‎ 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE．‎ （1） 证明：BD⊥平面PAC；‎ （2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；‎ ‎26.【2012高考真题辽宁理18】(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，直三棱柱，，‎ 点M，N分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎27.【2012高考真题湖北理19】（本小题满分12分）‎ 如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）． ‎ ‎（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在 棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．‎ ‎28.【2012高考真题新课标理19】（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，，‎ 是棱的中点，‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎30.【2012高考真题四川理19】(本小题满分12分) ‎ ‎ 如图，在三棱锥中，，，，平面平面。‎ ‎（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小。‎ ‎32.【2012高考真题北京理16】（本小题共14分）‎ ‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1C⊥CD,如图2.‎ ‎(I)求证：A‎1C⊥平面BCDE；‎ ‎(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；‎ ‎(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由 ‎33.【2012高考真题浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．‎ ‎(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；‎ ‎(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．‎ ‎35.【2012高考真题江西理20】（本题满分12分）‎ 在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。‎ ‎（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB‎1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求平面A1B‎1C与平面BB‎1C1C夹角的余弦值。‎ ‎【答案】‎ ‎36.【2012高考真题安徽理18】（本小题满分12分）‎ 平面图形如图4所示，其中是矩形，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。‎ ‎（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的长；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值。‎ ‎【答案】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定。空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和求解能力。‎ ‎【解析】(综合法)‎ 得：二面角的余弦值为。‎ ‎37.【2012高考真题上海理19】（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，‎ 底面，是的中点，已知，，，求：‎ ‎（1）三角形的面积；‎ ‎（2）异面直线与所成的角的大小。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，‎ 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PD，‎ 又∵，CD=2，‎ ‎∴△PCD的面积为。‎ ‎（2）解法一：取PB的中点F，连接EF,AF, ‎ 则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角。‎ 在△ADF中，EF=、AF=,AE=2，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AEF=，‎ ‎∴异面直线BC与AE所成的角大小为。‎ 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 则B(2,0,0),C(2，,0),E(1，,1)， ∴=(1，,1)，=(0,,0),‎ 设与的夹角为，则 ‎=,,‎ 又∵0＜≤，∴=。‎ ‎40.【2012高考真题湖南理18】（本小题满分12分）‎ ‎ 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；‎ ‎（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【答案】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，‎ Ｅ是ＣＤ的中点，所以 所以 而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.‎ ‎（Ⅱ）过点Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且.‎ 由知，为直线与平面所成的角.‎ 由题意，知 因为所以 由所以四边形是平行四边形，故于是 在中，所以 ‎　　　　　　　‎ 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 ‎　　　　　　　　　‎ 解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为 建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：‎ ‎（Ⅰ）易知因为 所以而是平面内的两条相交直线，所以 ‎(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与 所成的角和PB与所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得.‎ 又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 ‎ .‎ ‎41.【2012高考真题天津理17】（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.‎ ‎（Ⅰ）证明PC⊥AD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. ‎ ‎【答案】‎ ‎5.(2011年高考辽宁卷理科8)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）‎ ‎(A) AC⊥SB ‎ ‎(B) AB∥平面SCD ‎ ‎(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 ‎ ‎(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 ‎12.(2011年高考重庆卷理科9)高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C）1 （D）‎ ‎15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 ‎ (A) (B) (c) (D)‎ ‎ ‎ ‎2. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科19)（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.‎ ‎（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;‎ ‎（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小 ‎2.(2011年高考浙江卷理科20)（本题满分15分）如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，‎ 使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。‎ ‎4.(2011年高考安徽卷理科17)（本小题满分12分）‎ 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,△，△，△都是正三角形。‎ ‎（Ⅰ）证明直线∥；‎ ‎（II）求棱锥F-OBED的体积。‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎5. (2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)‎ ‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明：PA⊥BD；‎ ‎(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。‎ ‎7. (2011年高考江西卷理科21)（本小题满分14分）‎ ‎（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的，使得且其中每相邻两个平面间的距离都相等；‎ ‎（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足： 求该正四面体的体积．‎ ‎[来源:学科网ZXXK] ‎ ‎8．(2011年高考湖南卷理科19)（本小题满分12分）‎ 如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面 平面;‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎9. (2011年高考广东卷理科18)如图5，在椎体中，是边长为1的棱形，且,,分别是的中点，‎ ‎（1） 证明：‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ ‎10. (2011年高考湖北卷理科18)（本小题满分12分）‎ 如图，已知，本棱柱ABC-A1B‎1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱[来源:Z§xx§k.Com]‎ CC1上，且不与点C重合.‎ ‎(Ⅰ) 当CF=1时，求证：EF⊥A1E ‎(Ⅱ)设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值.‎ 过E点作EN⊥AC于N，连结EF.‎ ‎（Ⅰ）如图1，连结NF、AC1，由直线柱的性质知，底面ABC⊥侧面A‎1C，‎ 又底面ABC∩侧面A‎1C=AC，且EN底面ABC，所以EN⊥侧面A‎1C，NF 为EF在侧面内的射影.‎ 在Rt△CEN中，CN=cos600=1.则由，得，又，‎ 故作，由三垂线定理知.‎ ‎（Ⅱ）如图2。连结AF，过N作NM⊥AF于M，连结ME，由（Ⅰ）知EN⊥侧面 A‎1C。根据三垂线定理得EM⊥AF,所以EM⊥AF，所以是二面角的平面角，即.设则.在中.‎ 在中，，故，又，.故当，即当时，达到最小值，.此时F与C1重合.‎ ‎11.(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）‎ 如图：在 ‎，沿把折起，‎ 使（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）设。‎ ‎12.(2011年高考重庆卷理科19)本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分。‎ 如图，在四面体中，平面 ⊥ , ⊥,=,∠=‎ ‎ （Ⅰ）若=2，=2，求四边形的体积。‎ ‎ （Ⅱ）若二面角--为，求异面直线与所成角的余弦值。 ‎ ‎13．(2011年高考四川卷理科19) (本小题共l2分)‎ ‎ 如图，在直三棱柱AB-A1B‎1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一 P是AD的延长线与A‎1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．‎ ‎(I)求证：CD=C1D：‎ ‎(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； ‎ ‎(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．‎ ‎14.(2011年高考全国卷理科19)如图，四棱锥中，,，侧面 为等边三角形，.‎ ‎（Ⅰ）证明：;‎ ‎（Ⅱ)求与平面所成角的大小.‎ ‎15.(2011年高考安徽卷江苏16)如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD ‎ [来源:学科网ZXXK]‎ AB=AD=,则AF=,又因为∠BAD=60°，[来源:学.科.网Z.X.X.K]16．(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面 ‎ （Ⅱ）若求与所成角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.‎ ‎17．(2011年高考福建卷理科20)（本小题满分14分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．‎ ‎（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（II）设AB=AP．‎ ‎ （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；‎ ‎ （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。‎ ‎18．(2011年高考上海卷理科21)（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。‎ ‎（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。‎ 求证：；‎ ‎（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。‎ ‎（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 ‎ (A)（0,） (B)（1,）‎ ‎ (C) (,） (D) （0,）‎ ‎（2010江西理数）10.过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎（2010四川理数）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，‎ 是平面内边长为的正三角形，线段、分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 ‎（A） （B） w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎（C） （D）‎ ‎（2010江西理数）16.如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 。‎ ‎（2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. ‎ ‎（Ⅰ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。‎ ‎（2010全国卷2理数）（19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．‎ ‎（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．‎ ‎（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）‎ 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：CM⊥SN；‎ ‎（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.‎ ‎（2010江西理数）20. （本小题满分12分）‎ 如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。‎ （1） 求点A到平面MBC的距离；‎ （2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。‎ ‎（2010北京理数）（16）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，‎ CE=EF=1.‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎ ‎ ‎（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m 已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（2010天津理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，、分别是棱,‎ 上的点，,‎ （1） 求异面直线与所成角的余弦值；‎ （2） 证明平面 （3） 求二面角的正弦值。‎ ‎（2010山东理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．‎ ‎（2010江苏卷）16、（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。‎ (1) 求证：PC⊥BC；‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎11. (宁夏海南文9理8) 如图，正方体的棱线长为1，线段 上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ‎ ‎ ‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）三棱锥的体积为定值 ‎（D）异面直线所成的角为定值 ‎12.(山东文理4) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎14.(辽宁理11)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 ‎（A）1：1 （B）1：2 （C）2：1 （D）3：2‎ ‎17. (浙江理5)在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6.(浙江理17)如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除 外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点 作，为垂足．设，则的取值范围是 ．‎ ‎13. (2009·安徽理18)（本小题满分13分）‎ 如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.‎ ‎（I）求二面角B－AF－D的大小；‎ ‎（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.‎ 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。‎ ‎15. (2009·福建理17)（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，‎ ‎，且MD=NB=1，E为BC的中点 （1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 （2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 ‎ ‎17. (2009·广东理18)（本小题满分１４分）如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ，Ｇ在平面内的正投影．‎ ‎（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（２）证明：直线；‎ ‎（３）求异面直线所成角的正统值 ‎19. (2009·辽宁理18) （本小题满分12分）‎ 如图，己知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB , DF的中点。‎ ‎（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；‎ ‎（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。‎ ‎20. (2009·宁夏海南理19)（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥SD； ‎ ‎（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， ‎ 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；‎ 若不存在，试说明理由。‎ ‎23.（2009·山东理18）（本小题满分12分）‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎ 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ （1） 证明：直线EE//平面FCC；‎ （2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 ‎ ‎24．(浙江‎20090423‎ 理20)（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．‎ ‎ ‎ ‎（I）设是的中点，证明：平面；‎ ‎（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．‎ ‎27．（2009·天津文理19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎ (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 ‎ 本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.‎ ‎7.（2008·海南、宁夏理科卷）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎1.（2008·海南、宁夏理科卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．‎