2017-2018学年河北省黄骅中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

2017-2018学年河北省黄骅中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

黄骅中学 2017－2018 年度高中二年级第一学期第三次月考 数学试卷（理科） 命题人：刘中辉 审定人：王丽英 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。另附加题 20 分 第Ⅰ卷（客观题 共 60 分） 注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相 应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。 一、选择题（本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分） 1. 焦点为 0 6， ，且与双曲线 2 2 12 x y  有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） A. 2 2 112 24 x y  B. 2 2 112 24 y x  C. 2 2 124 12 y x  D. 2 2 124 12 x y  2. 已知命题 1 1 2 3 x x p x R             ： ， ；命题 2 0 0 0 1 0q x R x x    ： ， ，则下列命题为真 命题的是（ ） A． p q B． p q  C． p q  D． p q   3.一支田径队共有运动员 98 人，其中女运动员 42 人，用分层抽样的办法抽取一个样本，每 名运动员被抽到的概率都是 2 7 ，则男运动员应抽取（ ）人 A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 若曲线 2y x mx n   在点 (0, )n 处的切线方程是 1 0x y   ，则（ ） A． 1, 1m n   B． 1, 1m n  C． 1, 1m n   D． 1, 1m n    5．已知向量    2, 1,2 , 2,2,1a b   ，以a b 、 为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 65 B. 65 2 C. 4 D. 8 6. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积 可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点 后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一 个程序框图，则输出 n 的值为（ ） （参考数据： 732.13  , ,2588.015sin  1305.05.7sin  ） A．12 B．24 C．36 D．48 7. 从某高中随机选取 5 名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示： 根据上表可得回归直线方程  0.56y x a  ，据此模型预报身高为 172 cm 的高二男生的体 重为（ ） A.70.09 B.70.12 C.70.55 D.71.05 8. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 在 1AC 上运动（包括端点），则 BP 与 1AD 所成角的 取值范围是（ ） A. ,6 3       B. ,6 2       C. ,4 2       D. ,4 3       9. 已知正数 ,a b 满足 4a b  ，则曲线   ln xf x x b   在点   ,a f a 处的切线的倾斜角 的取值范围为( ) A. ,4    B. 5,4 12      C. ,4 3      D. ,4 2      10.在抛物线 2y x 与直线 2y  围成的封闭图形内任取一点 A ，O 为坐标原点，则直线 OA被 该封闭图形截得的线段长小于 2 的概率是（ ） A． 3 15 B． 3 16 C. 2 16 D． 2 14 11. 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点为 1F 、 2F ，在双曲线上存在 点 P 满足 1 2 1 23 2PF PF F F    ,则双曲线的渐近线的斜率 b a 的取值范围是（ ） A. 30 2 b a   B. 3 2 b a  C. 50 2 b a   D. 5 2 b a  12. 定义在 R 上的函数 ( )f x 满足： ( ) 1 ( )f x f x   ， (0) 6f  ， ( )f x 是 ( )f x 的导函数， 则不等式 ( ) 5x xe f x e  （其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A． 0, B．   ,0 3, U C．   ,0 1, U D． 3, 第Ⅱ卷（主观题 共 90 分） 二、填空题（本题共 20 分，每小题 5 分） 13. 已知样本数据 1x ， 2x ， ， nx 的平均数 5为 ，则样本数据 12 1x  ， 22 1x  ， ，2 1nx  的平均数为 ． 14. 1 1 ( )xe x dx  的值为 ． 15.已知 A B、 是过抛物线  2 2 0y px p  焦点 F 的直线与抛物线的交点，O是坐标原点， 且满足 FBAB 3 , ABS OAB 3 2 ，则 p 的值为 ． 16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 821 AAA  的 中心，  0,11A .任取不同的两点 ji AA , ，点 P 满足 0i jOP OA OA      ，则点 P 落在第一象限的概率是________. 三、解答题（共 70 分，写出必要的解题步骤、文字说明） 17. （本小题满分 10 分）设命题 Rxp : ，使等式 012  axx 成立；命题 :q 函数 1)( 3  axxxf 在区间 1,1 上单调递减，如果命题 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题， 求 a 的取值范围。 18. （本小题满分 12 分）设    2 ,f x x bx c b c R    . (1)若b 和c 分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，求方程   0f x  有实根的概率； (2)若  1,4b ，  2,4c ，求  2 0f   成立时的概率. 19. （本小题满分 12 分） 如图，斜三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1AA B B 为菱形，底面 ABC 是等腰直角三角形， 0 1 190 ,BAC A B B C   . （1）求证：直线 AC  直线 1BB ； （2）若直线 1BB 与底面 ABC 成的角为 60°，求二面角 1A BB C  的余弦 值． 20. （本小题满分 12 分） 设    25 6lnf x a x x   ，其中 a R ，曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线与 y 轴相交于点 0,6 .（1）确定 a 的值；（2）求函数  f x 的单调区 间与极值. 21. （本小题满分 12 分） 如图，已知 6 ,12P       为椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b     上的点， 且 2 2 5a b  ，过点 P 的动直线与圆 2 2 2: 1F x y a   相交于 A B、 两点，过点 P 作直线 AB 的垂线与椭圆 E 相交于点Q ． （1）求椭圆 E 的离心率；（2）若 32AB ，求 PQ ． 22. （本小题满分 12 分）已知   2xf x e ax  ，  g x 是  f x 的导 函数. （1）求  g x 的极值； （2）证明：对任意实数 x R ，都有   2 1f x x ax   恒成立； 四、附加题（共 20 分） 23. （本小题满分 5 分） .函数  y f x 图象上不同两点    1 1 2 2, , ,A x y B x y 处的切线的斜 率分别是 ,A Bk k ，规定  , A Bk kA B AB   叫曲线  y f x 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”， 以下命题：（1）函数 3 2 1y x x   图象上两点 A、B 的横坐标分别为 1，2，则  , 3A B  ； （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； （3）设点 A、B 是抛物线 2 1y x  上不同的两点，则  , 2A B  ； （4）设曲线 xy e 上不同两点    1 1 2 2 1 2, , , , 1A x y B x y x x 且 ，若  , 1t A B  恒成立， 则实数 t 的取值范围是  ,1 .其中正确命题的序号为_________（写出所有正确的）. 24.（本小题满分 15 分）定圆  2 2: 3 16M x y   ,动圆 N 过点  3,0F 且与圆 M 相 切，记圆心 N 的轨迹为 E . （1）求轨迹 E 的方程； （2）设点 , ,A B C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称，且 AC BC ,当 ABC 的面积最 小时,求直线 AB 的方程 黄骅中学 2017－2018 年度高中二年级第一学期第三次月考 数学试卷（理科） 一、选择题 BCCBAB BADCDA 二、填空题 13. 11 14. 1e e  15. 2 16. 5 28 三、解答题 17. 解： 2 4 0 2 2p a a       真 = a 或 ……………………3 分  2(x) 0 1,1f a x    q真 = 3x 在 恒成立 3a  ……………… 6 分 由“ p q ”为真， p q 为假， ,p q 一真一假 ……………… 7 分 当 p 真 q 假时，  2 2 3 2 2 3a a a a a        或 或 ……8 分 当 p 假 q 真时， 无解aa a       3 22 …………………9 分 2 2 3a a   综上得 或 …………………… 10 分 18. .解：解：(1) ,b c 的所有可能的取值有：  1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 1,6 ，  2,1 ， 2,2 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,5 ， 2,6 ，  3,1 ， 3,2 ， 3,3 ， 3,4 ， 3,5 ， 3,6 ，  4,1 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ， 4,5 ， 4,6 ，  5,1 ， 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ， 5,5 ， 5,6 ，  6,1 ， 6,2 ， 6,3 ， 6,4 ， 6,5 ， 6,6 ， 共 36 种. …………………3 分 要使方程 2 0x bx c   有实根，必须满足 2 4 0b c    ，符合条件的有：  2,1 ， 3,1 ， 3,2 ， 4,1 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ， 5,1 ， 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ，  5,5 ， 5,6 ， 6,1 ， 6,2 ， 6,3 ， 6,4 ， 6,5 ， 6,6 ，共 19 种. ……………5 分 ∴方程 2 0x bx c   有实根的概率为 19 36P  .…………………6 分 (2)试验的全部结束所构成的区域为：   , |1 4,2 4 b c b c    . 构成事件 A 的区域为：   , |1 4,2 4,4 2 0 b c b c b c       .…………………10 分 所以所求的概率为： 13 2 1 2 52 3 2 6P       .…………………12 分 19. （1）证明：连接 1AB ，因为，侧面 1 1AA B B 为菱形， 所以 1 1AB A B ， 又 1AB 与 1BC 相互垂直， 1 1 1AB B C B ， ∴ 1A B  平面 1AB C ，…………………2 分 ∴ 1A B AC ，又 1,AC AB AB A B B  ， ∴ AC  平面 1 1AA B B ，…………………4 分 ∵ 1BB  平面 1 1AA B B ，所以直线 AC  直线 1BB ．…………………6 分 （2）由（1）知，平面 ABC  平面 1 1AA B B ，由 1B 作 AB 的垂线，垂足为 D ，则 DB1 平 面 ABC ， ∴ 0 1 60B BA  ， ∴ D 为 AB 的中点， 过 A 作 1DB 的平行线，交 1 1A B 于 E 点，则 AE  平面 ABC ，…………………8 分 建立如图所示的空间直角坐标系，设 2AB  ， 则  0,2,0AC  为平面 1AB B 的一个法向量， 则    2,0,0 , 0,2,0B C ，    12,2,0 , 0, 1, 3BC BB     ， 设平面 1AB B 的法向量  , ,n x y z ， 2 2 0BC n x y      ， 1 3 0BB n y z      ， 取  3, 3,1n  ，…………………10 分 3 21cos , 77 AC nAC n AC n         ， 二面角 1A BB C  的余弦值为 7 7 ．…………………12 分 20. 解（1）因    25 6lnf x a x x   ，故     62 5f x a x x    ， 令 1x  ，得  1 16f a ，  1 6 8f a   ，所以曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方 程为   16 6 8 1y a a x    ，…………………4 分 由点 0,6 在切线上可得6 16 8 6a a   ，故 1 2a  ；…………………6 分 （2）由（1）知，    21 5 6ln ( 0)2f x x x x    ，     2 365 x xf x x x x      ， 令   0f x  ，解得 1 22, 3x x  ．…………………8 分 当0 2x  或 3x  时，   0f x  ，故  f x 在   0,2 , 3, 上为增函数；当2 3x  时，   0f x  ，故  f x 在 2,3 上为减函数．…………………10 分 由此可知，  f x 在 2x  处取得极大值   92 6ln22f   ，在 3x  处取得极小值  3 2 6ln3f   ．…………………12 分 21. 解：（1）依题知 2 2 2 2 6 1 1, 5, 04 a b a ba b       ， 解得 2 23, 2a b  ，…………………2 分 所以椭圆 E 的离心率 2 2 2 3 2 3 3 3 a be a     ；…………………4 分 （2）依题知圆 F 的圆心为原点，半径为 2, 2 3r AB  ， 所以原点到直线 AB 的距离为 22 2 2 2 32 12 2 ABd r               ，…………………6 分 因为点 P 坐标为 6 ,12       ，所以直线 AB 的斜率存在，设为 k ． 所以直线 AB 的方程为 61 2y k x        ，即 6 1 02kx y k    ， 所以 2 61 2 1 1 k d k     ，解得 0k  或 2 6k  ．…………………8 分 当 0k  时，此时直线 PQ 的方程为 6 2x  ， 所以 PQ 的值为点 P 纵坐标的两倍，即 2 1 2PQ    ；…………………10 分 ②当 2 6k  时，直线 PQ 的方程为 1 61 22 6 y x         ， 将它代入椭圆 E 的方程 2 13 2 x y   ，消去 y 并整理，得 234 10 6 21 0x x   ， 设Q 点坐标为 1 1,x y ，所以 1 6 10 6 2 34x  ，解得 1 7 6 34x   ， 所以 2 1 1 6 301 2 172 6 PQ x        ．…………………12 分 22. 解析： （Ⅰ）   x 2f x e ax  ，     xg x f' x e 2ax   ，   xg' x e 2a  ， 当a 0 时，  g' x 0 恒成立，  g x 无极值；………………… 2 分 当a 0 时，  g' x 0 ，即  x ln 2a ， 由  g' x 0 ，得  x ln 2a ；由  g' x 0 ，得  x ln 2a ， 所以当  x ln 2a 时，有极小值  2a 2aln 2a .…………………6 分 （Ⅱ）因为   xf' x e 2ax  ，所以，要证  f' x x 2ax 1   ，只需证 xe x 1  . 令   xk x e 1 x   ，则   xk' x e 1  ，且  k' x 0 ，得 x 0 ；  k' x 0 ，得 x 0 ， ∴  k x 在 ,0 上单调递减，在 0,  上单调递增, …………………10 分 ∴    k x k 0 0  ，即 xe 1 x  恒成立, ∴对任意实数 x R ，都有  f' x x 2ax 1   恒成立. …………………12 分 23. （2） （3）…………………5 分 24.解析：（1）  3,0F 在圆  2 2: 3 16M x y   内, 所以圆 N 内切于圆 M . 4 ,NM NF FM    点 N 的轨迹 E 为椭圆，……………3 分 且 2 4, 3, 1,a c b    轨迹 E 的方程为 2 2 14 x y  .…………………6 分 （2）①当 AB 为长轴（或短轴）时，此时 1 22ABCS OC AB     .…………………8 分 ②当直线 AB 的斜率存在且不为0 时，设直线 AB 方程为 y kx , 联立方程 2 2 1{ 4 x y y kx    得  22 22 2 2 2 2 2 2 4 14 4, ,1 4 1 4 1 4A A A A kkx y OA x yk k k          . 将上式中的k 替换为 1 k  ,得            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 4 1 4 1 , 2 ·4 1 4 4 1 4 4 ABC AOC k k k k OC S S OA OCk k k k k                 .………… ………10 分        2 2 2 2 2 1 4 4 5 1 81 4 4 ,2 2 5ABC k k k k k S          ,…………………12 分 当且仅当 2 21 4 4k k   , 即 1k   时等号成立，此时 ABC 面积最小值是 8 5 .…………………14 分 82 ,5 ABC  面积最小值是 8 5 ,此时直线 AB 的方程为 y x 或 y x  .…………15 分