2019届二轮复习函数与方程学案（全国通用）

2019届二轮复习函数与方程学案（全国通用）

一、知识要点：‎ ‎1、函数奇偶性的概念 ‎　　一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。‎ ‎　　一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。‎ 理解：‎ ‎(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；‎ ‎(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。‎ ‎2、按奇偶性分类，函数可分为四类：‎ 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.‎ ‎3、奇偶函数的图象：‎ 奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。‎ ‎4、函数奇偶性的性质：‎ ‎①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。‎ ‎②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。‎ ‎③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a0时，f(x)＝x3＋，则f(－1)＝ (　　) ]‎ A．－2 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2. ]‎ ‎3. 已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与直线有4个交点，则方程的所有实根之和是 (　　)‎ A．4 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】D ‎4. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－3x，则函数f(x)在R上的解析式是 ( 　　)‎ A．f(x)＝－x(2x－3) B．f(x)＝x(2|x|－3)‎ C．f(x)＝|x|(2x－3) D．f(x)＝|x|(2|x|－3)‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝2x2－3x，‎ ‎∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝2(－x)2＋3x＝2x2＋3x，‎ 则f(x)＝f(－x)＝2x2＋3x＝－x(－2x－3)．‎ 又当x≥0时，f(x)＝2x2－3x＝x(2x－3)，因此f(x)＝|x|(2|x|－3)．‎ ‎5．下面四个说法：①奇函数的图象关于坐标原点对称；②某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．其中正确说法的个数是 (　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据奇函数性质知其图象一定关于坐标原点对称，故①正确；‎ 函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故②正确；‎ 函数y＝是奇函数，但其图象不过原点，故③错；‎ 函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故④错．故正确的有2个. ‎ ‎6．设奇函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 (　　)‎ A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)‎ C．f(π)f(－2)>f(－3). ]‎ ‎7. 已知f(x)＝2x5＋ax3＋bx－3，若f(－4)＝10，则f(4)＝(　　)‎ A．16 B．－10 C．10 D．－16‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎8．已知f(x)是定义在[m，n]上的奇函数，且f(x)在[m，n]上的最大值为a，则函数F(x)＝f(x)＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为 (　　)‎ A．2a＋3 B．2a＋6 C．6－2a D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为奇函数f(x)在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F(x)＝f(x)＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)＝6，故选D.‎ 二、填空题 ‎9．设函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即 ‎＝，得a＝.‎ 解法二：由f(－1)＝－f(1)，可得a＝. ‎ ‎10．若函数f(x)＝(2k－3)x2＋(k－2)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为f(x)是偶函数，所以k－2＝0，即k＝2.‎ ‎∴f(x)＝x2＋3，则f(x)的图象是开口向上的抛物线．‎ ‎∴f(x)的递增区间为．‎ ‎11．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2＋5x＋1.若当x∈[1，3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为 ． ‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ‎12. 已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，且当x0时，f(x)＝3x－2，求函数f(x)的解析式．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝3(－x)－2＝－3x－2.‎ 又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)＝－3x－2.‎ ‎∴所求函数的解析式为f(x)＝ ‎ ‎13. 判定下列函数的奇偶性．‎ ‎(1)f(x)＝； (2)f(x)＝；‎ ‎(3)f(x)＝； (4)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎【答案】（1）非奇非偶函数，（2）既是奇函数又是偶函数，‎ ‎（3）奇函数，（4）偶函数 ‎ ‎ ‎14. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－2x2＋4x＋3.‎ ‎(1)求f(x)的表达式；‎ ‎(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】(1)设x＜0，则－x＞0， ]‎ 于是f(－x)＝－2(－x)2－4x＋3＝－2x2－4x＋3.‎ 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．‎ 因此f(x)＝2x2＋4x－3.‎ 又∵f(0)＝0，‎ ‎∴f(x)＝ ‎ ‎(2)先画出y＝f(x)(x＞0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x＜0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1，0)和(0，1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)． ‎