数学北师大版(2019)必修第二册:1-4-2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学案与作业
4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性
质
(15 分钟 30 分)
1.下列函数是周期函数的有( )
①y=sin x ②y=cos x ③y=x2
A.①③ B.②③ C.①② D.①②③
【解析】选 C.很明显 y=sin x 和 y=cos x 是周期函数,函数 y=x2 的图
象不是重复出现,故函数 y=x2 不是周期函数.
2.有下列命题,其中正确的个数是( )
①终边相同的角的同名三角函数值相等;
②同名三角函数值相等的角也相等;
③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相等;
④不相等的角,同名三角函数值也不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选 B.对于①,由三角函数的定义可得正确;对于②,由 sin
30°=
sin 150°= , 但 30°≠150°, 所 以 ② 错 误 ; 对 于 ③, 如
α=60°,β=120°的终边不相同,但 sin 60°=sin 120°= ,所以③错
误;对于④,由③中的例子可知④错误.
3.下列各式正确的是( )
A.sin 1>sin B.sin 1
0 时,-b≤bsin x≤b.
所以 a-b≤a-bsin x≤a+b,所以 解得 所以所求
函数为 y=-2sin x.
当 b<0 时 b≤bsin x≤-b 所以 a+b≤a-bsin x≤a-b.
所以 解得
所以所求函数为 y=-2sin(-x)=2sin x.
所以 y=±2sin x 的最大值是 2,最小值是-2,周期是 2π.
(20 分钟 40 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 15 分)
1.y=2sin 2x 在 x∈[- , ]上的最大值与最小值的和为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选 B.因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x≤ π,当 2x=- 时,ymin=2sin
(- )=-1,当 2x= 时,ymax=2sin =2,所以和为 1.
2.若 sin x=2m+3,且 x∈ ,则 m 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【解析】选 C.因为 x∈ ,所以结合单位圆知 sin x∈ ,
即- ≤2m+3≤ .所以- ≤m≤- .
3.函数 y= + 的定义域为( )
A.R B.[0,π]
C.[-4,-π] D.[-4,-π]∪[0,π]
【解题指南】先求出每一段的 x 的取值范围,然后求它们的交集.
【解析】选 D.要使函数式有意义,
需 由①得-4≤x≤4,由②得 2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),
故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].
【补偿训练】
在[0,2π]上,满足 sin x≥ 的 x 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选 B.如图易知选 B.
二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的
得 0 分)
4.函数 y= 的函数值可以取的值是( )
A.- B.-1 C.1 D.2
【解析】选 BCD.令 sin α=t,则 t∈[-1,0)∪(0,1],所以 y= 的值域为
(-∞,-1]∪[1,+∞).
【光速解题】令 y= 等于- ,-1,1,2,然后分别求解α.
【补偿训练】
已知函数 f(x)= 则下列结论不正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是增函数
C.f(x)是周期函数
D.f(x)的值域为[-1,+∞)
【解析】选 ABC,因为 f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以 f(-π)≠f(π),所
以函数 f(x)不是偶函数,A 不正确;
函数 f(x)在(-2π,-π)上单调递减,B 不正确;
函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)不是周期函数,C 不正
确;
因为 x>0 时,f(x)>1,x≤0 时,-1≤f(x)≤1,
所以函数 f(x)的值域为[-1,+∞),D 正确.
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
5.函数 f(x)=sin x 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b)=1,则 cos
= .
【解析】由条件知,a=- +2kπ,b= +2kπ,
所以 cos =cos 2kπ=1.
答案:1
6.函数 y=cos 2x-4cos x+5 的值域为_______.
【解析】令 t=cos x,由于 x∈R,故-1≤t≤1.
y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
当 t=-1 时,即 cos x=-1 时函数有最大值 10;
当 t=1,即 cos x=1 时函数有最小值 2.
所以该函数的值域是[2,10].
答案:[2,10]
【误区警示】本题容易忽视求解 t 的取值范围,而导致求解值域出错.
四、解答题
7.(10 分)已知函数 y=acos x+b 的最大值是 0,最小值是-4,求 a,b 的值.
【解析】当 a>0 时,
解得 当 a<0 时,
解得 所以 a=2,b=-2 或 a=b=-2.
【补偿训练】
已知函数 f(x)= .
(1)判定函数 f(x)是否为周期函数;
(2)求函数 f(x)的单调递增区间;
(3)当 x∈ 时,求 f(x)的值域.
【解析】(1)由于-1≤sin x≤1,所以 f(x)的定义域是 R.
又 f(x+2π)= = =f(x),
故 f(x)是周期函数.
(2)由正弦函数的基本性质,可知在区间 (k∈Z)上,
函数 y=sin x 是增函数,而此时函数 h(x)=2-sin x 是减函数,从而可知
此 时 函 数 f(x) 是 增 函 数 , 故 可 知 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为
(k∈Z).
(3)设 t=sin x ,则 t∈ ,
所以 1≤2-t< ,则 < ≤1.故 f(x)的值域为 .
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