2014-2018年五年真题分类第十二章 概率

2014-2018年五年真题分类第十二章 概率

第十二章 概率 考点1 随机事件及其概率 ‎1．（2018北京，4）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于‎12‎‎2‎.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)‎ A．‎3‎‎2‎f B．‎‎3‎‎2‎‎2‎f C．‎12‎‎2‎‎5‎f D．‎‎12‎‎2‎‎7‎f ‎1.D 因为每一个单音与前一个单音频率比为‎12‎‎2‎，所以an‎=‎12‎‎2‎an−1‎(n≥2,n∈N‎+‎)‎，‎ 又a‎1‎‎=f，则a‎8‎‎=a‎1‎q‎7‎=f‎(‎12‎‎2‎)‎‎7‎=‎12‎‎2‎‎7‎f，故选D.‎ ‎2.(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A.1 B. C. D. ‎2.C　[从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.]‎ ‎3.(2014·新课标全国Ⅰ，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3.D　[由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P＝ ＝＝，故选D.]‎ 考点2 古典概型与几何概型 ‎1．（2018全国Ⅰ，10）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)‎ A．p1=p2 B．p1=p3‎ C．p2=p3 D．p1=p2+p3‎ ‎1.A 设AC=b,AB=c,BC=a，则有b‎2‎‎+c‎2‎=‎a‎2‎，从而可以求得ΔABC的面积为S‎1‎‎=‎1‎‎2‎bc，‎ 黑色部分的面积为S‎2‎‎=π⋅‎(c‎2‎)‎‎2‎+π⋅‎(b‎2‎)‎‎2‎−[π⋅‎(a‎2‎)‎‎2‎−‎1‎‎2‎bc]‎ ‎=π(c‎2‎‎4‎+b‎2‎‎4‎−a‎2‎‎4‎)+‎1‎‎2‎bc ‎=π⋅c‎2‎‎+b‎2‎−‎a‎2‎‎4‎+‎1‎‎2‎bc=‎1‎‎2‎bc，其余部分的面积为S‎3‎‎=π⋅‎(a‎2‎)‎‎2‎−‎1‎‎2‎bc=πa‎2‎‎4‎−‎1‎‎2‎bc，所以有S‎1‎‎=‎S‎2‎，‎ 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到p‎1‎‎=‎p‎2‎，故选A.‎ ‎2．（2018全国Ⅱ，8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如‎30=7+23‎．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)‎ A．‎1‎‎12‎ B．‎1‎‎14‎ C．‎1‎‎15‎ D．‎‎1‎‎18‎ ‎2.C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C‎10‎‎2‎‎=45‎种方法，因为‎7+23=11+19=13+17=30‎，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为‎3‎‎45‎‎=‎‎1‎‎15‎，选C.‎ ‎3.（2017•新课标Ⅰ,2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　） ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.B 根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S= ，则对应概率P= = ，故选B. 4.（2017•山东,8）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（　　） ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. C 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有 =36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有 =20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，故选C． ‎ ‎5.(2016·全国Ⅰ，4)某公司的班车在7：00,8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(　)‎ ‎ A. B. C. D. ‎5.B [如图所示，画出时间轴：‎ 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝ ＝，故选B.]‎ ‎6.(2016·全国Ⅱ，10)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6.C [由题意得：(xi，yi)(i＝1，2，…，n)在如图所示正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，∴π＝，故选C.]‎ ‎7.(2015·陕西，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)‎ A.＋ B.－ C.－ D.＋ ‎7.B　[由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，‎ 由几何概型概率公式可得所求概率为：P＝＝＝－.]‎ ‎8.(2014·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8.C　[从这5个点中任取2个，有C＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C＝6种，因此所求概率P＝ ＝.故选C.]‎ ‎9.(2014·湖北，7)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9.D　[由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求的概率P＝＝.选D.]‎ ‎10．（2018江苏，6）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．‎ ‎10.‎3‎‎10‎‎.‎ 从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为‎3‎‎10‎‎.‎ ‎11.（2017•江苏,7）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________． ‎ ‎11. 由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则D=[﹣2，3]， ‎ 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ， 故答案为：. ‎ ‎12.(2016·江苏，7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.‎ ‎12. [基本事件共有36个.如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中满足点数之和小于10的有30个.故所求概率为P＝＝.]‎ ‎13.(2016·山东，14)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.‎ ‎13. [由已知得，圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－0.5‎.故选B.‎ ‎2.（2018浙江，7）设0p2，E(ξ1)E(ξ2)C.p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D.p1p2，E(ξ1)P().‎ 而当n≥3时，P(C)0‎；当p∈(0.1,1)‎时，f‎'‎‎(p)<0‎.‎ 所以f(p)‎的最大值点为p‎0‎‎=0.1‎.‎ ‎（2）由（1）知，p=0.1‎.‎ ‎（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y∼B(180,0.1)‎，X=20×2+25Y，即X=40+25Y.‎ 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490‎.‎ ‎（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.‎ 由于EX>400‎，故应该对余下的产品作检验.‎ ‎7.（2018北京，17）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立．‎ ‎（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．‎ ‎7.（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．‎ 故所求概率为．‎ ‎（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，‎ 事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．‎ 故所求概率为P（）=P（）+P（）‎ ‎=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．‎ 由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．‎ 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．‎ ‎（Ⅲ）>>=>>．‎ ‎8.(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；‎ ‎(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.‎ ‎8.(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，‎ 所以X所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000，‎ ‎300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.‎ P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，‎ P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，‎ P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，‎ 所以X的分布列为 X ‎4 000‎ ‎2 000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1，2，3)，‎ 由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，‎ P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，‎ ‎3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；‎ ‎3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3)=3×0.82×0.2＝0.384，‎ 所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.‎ ‎9.(2014·新课标全国Ⅰ，18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.‎ ‎(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8

查看更多