陕西省宝鸡市金台区2020届高三教学质量检测数学文试题

陕西省宝鸡市金台区2020届高三教学质量检测数学文试题

金台区2020届高三教学质量检测题 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.‎ ‎2.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集定义求解.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2.设i是虚数单位，复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再根据共轭复数概念得结果.‎ 详解】‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.已知向量，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再根据模的坐标表示得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查向量模，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4.某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且“”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列举出满足题意的字母组合，即可求出结果.‎ ‎【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是，，，，拼写正确的组合只有一种，所以概率为. ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎5.从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线.小王想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说:“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说:“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说:“1号路线堵车，2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（）‎ A. 1号路线 B. 2号路线 C. 3号路线 D. 2号路线或3号路线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲、乙、丙说得对，分析出有矛盾的说法，由此得出正确结论.‎ ‎【详解】①若甲说得对，则2号路线，3号路线都不堵，由于乙是错误的，所以1号路线堵车，这样丙也说得对，这与只有一人说法正确矛盾；‎ ‎②若乙说得对，则1号路线，2号路线都不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时丙也是错误的，符合条件；‎ ‎③若丙说得对，则1号路线堵车，2号路线不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时乙也是错误的，符合条件综上所述，由于②③中都有2号路线不堵，所以小王最应该选择2号路线.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查逻辑与推理，考查推理论证能力和创新意识，属于基础题.‎ ‎6.设则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由在区间是单调减函数可知，，又，故选.‎ 考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.下列命题正确的是（ ）．‎ A. 过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直 B. 过平面外一点有无数个平面与这个平面平行 C. 过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直 D. 过平面外一点只有一条直线与这个平面平行 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面位置关系逐一验证 ‎【详解】过平面外一点有一条直线与这个平面垂直，所以A错误；‎ 过平面外一点有一个平面与这个平面平行，所以B错误；‎ 过平面外一点有无数条条直线与这个平面平行，所以D错误；‎ 过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直，所以C正确，‎ 选C.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行与垂直关系判断，考查基本分析论证判断能力，属中档题 ‎8.已知函数的一个零点是，且在内有且只有两个极值点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的单调性，逐项判断函数的单调性，求出极值点，即可得出结果.‎ ‎【详解】A选项，因为在内为增函数，无极值点；不满足题意；‎ B选项，由得；‎ 由得；‎ 所以函数上单调递增，在上单调递减；‎ 故在内有一个极值点；不满足题意；‎ C选项，由得；‎ 由得；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ‎ 在内有极大值点，极小值点为，满足题意；‎ D选项，由得；‎ 由得；‎ 所以函数在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在内有三个极值点，，，不满足题意.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎9.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求抛物线焦点，再根据双曲线焦点列方程，解得结果.‎ ‎【详解】因为的焦点是，双曲线的焦点是 ‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查抛物线焦点以及双曲线焦点，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）‎ A. -4 B. ‎-1 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数得切线斜率，再根据切线方程列等量关系，解得结果.‎ ‎【详解】.‎ 因为曲线在点处的切线与直线垂直，‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎11.已知 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎12.已知、是双曲线的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于 的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则（ ）‎ A. 8 B. ‎6 ‎C. 10 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用、是双曲线的焦点, 是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：由题意， ∴双曲线∴（0，−3），（0，3），‎ ‎∵离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，∴,‎ ‎∵是椭圆与双曲线的一个公共点，,‎ ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.如图，及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点，则的最大值为________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 视D为可行域，则根据目标函数所表示直线，结合图形确定最优解，代入求得结果.‎ ‎【详解】D为可行域，则表示直线，当此直线过点A时截距最大，即取最大值：，‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数；‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数；‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．‎ 上述事件中，是对立事件的是________．‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件定义逐一判断选择.‎ ‎【详解】①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件，也是对立事件；‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件，也不是对立事件；‎ 故答案为：③‎ ‎【点睛】本题考查对立事件定义，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎15.的内角的对边分别为，若的面积为，，，则________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据三角形面积公式求得关系，与联立解得，最后根据余弦定理求结果.‎ ‎【详解】因为的面积为，所以 故答案为：6‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积公式以及余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.如下图所示，用一个边长为的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面到球心距离，再加上此平面到底面距离即可.‎ ‎【详解】由题意得蛋巢四个小三角形直角顶点围成一个正方形，对角线长为1，‎ 因为表面积为的球半径为1，所以球心到蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面距离为 又小三角形直角顶点到底面距离为，所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查球表面积以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.如图，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形．‎ ‎（1）证明：底面；‎ ‎（2）设四棱柱的棱长为，若，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据矩形性质得线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果；‎ ‎（2）先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.‎ ‎【详解】解：（1）证明：因为四边形ACC‎1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. ‎ 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.‎ 而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. ‎ 由题设知，O1O∥C‎1C，故O1O⊥底面ABCD. ‎ ‎（2）由（1）知四边形为正方形，其面积为，‎ 点到平面的距离为， ‎ 故 ‎【点睛】本题考查线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎18.在等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件列关于首项与公差的方程，解得结果代入等差数列通项公式得结果；‎ ‎（2）先根据等比数列通项公式得，解得通项公式，再根据分组求和公式得结果.‎ ‎【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则， ‎ ‎∴. ‎ ‎∴，解得 ‎∴数列的通项公式为；‎ ‎（2）∵数列是首项为1，公比为的等比数列，‎ ‎∴，即. ∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比数列通项公式以及分组求和公式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎19.某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图 图1：乙流水线样本频率分布直方图 表1：甲流水线样本频数分布表 质量指标值 频数 ‎(190，195]‎ ‎9‎ ‎(195，200]‎ ‎10‎ ‎(200，205]‎ ‎17‎ ‎(205，210]‎ ‎8‎ ‎(210，215]‎ ‎6‎ ‎（1）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数和平均数（估算平均数时，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出的不合格品约多少件？‎ ‎【答案】(1)中位数 ，平均数204.5 (2)1500,1000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中位数定义列式求解，再根据组中值求平均数；‎ ‎（2）先根据古典概型概率分别求甲、乙不合格品概率，再根据概率估计不合格品件数.‎ ‎【详解】解：（1）设乙流水线生产产品该项质量指标值的中位数为x，‎ 因为0.48＝(0.012＋0.032＋0.052)×5<0．5<(0．012＋0．032＋0．052＋0．076)×5＝0.86，‎ 则(0.012＋0.032＋0.052)×5＋0.076×(x－205)＝0.5，解得x＝． ‎ 平均数估计为：0.012×5×192.5＋0.032×5×197.5＋0.052×5×202.5+0.076×5×207.5＋0.028×5×212.5=204.5 ‎ ‎（2）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， ‎ 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 P甲＝＝，‎ 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 P乙＝(0．012＋0．028)×5＝， ‎ 于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别约为：5000×＝1500，5000× ＝1000．‎ ‎【点睛】本题考查根据频率分布直方图求中位数、平均数及概率，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎20.已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，，‎ 即① 又②‎ 联立①①解得 所以，椭圆的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）设，，，由，‎ 得，‎ 所以，即，‎ 又因为，所以，，‎ ‎，，‎ 解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴，∴.‎ 解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.‎ 直线与的方程分别为：‎ ‎，，‎ 分别令，得，‎ 而，同解法一，可得 ‎，即垂直平分.‎ 所以，.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程在范围内有实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 偶函数．递增区间是，递减区间是．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求定义域，再根据偶函数定义进行判断；求导数，再求导函数零点，根据零点确定导函数符合即得函数单调区间；‎ ‎（2）先分离变量，转化为求对应函数值域，利用导数研究新函数单调性，确定函数值域，即得结果.‎ ‎【详解】解：（1）函数的定义域为且，且，‎ 为偶函数．‎ 当时，．‎ 若，则，递减；‎ 若，则，递增．‎ 得的递增区间是，递减区间是．‎ ‎（2）由，得：．‎ 令．‎ 当，，显然（1）．‎ 当时，，为减函数；当时，，为增函数． ‎ 时，（1）．‎ 的值域为．‎ 若方程在范围内有实数解，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、利用导数求函数单调性以及利用导数研究函数有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，，求的值．‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 即， 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，‎ 得. 因为直线与曲线交于，两点．‎ 所以，解得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 因为点的直角坐标为，在直线上.所以， ‎ 解得，此时满足.且，故.．‎ ‎【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）当时，不等式为，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当时，有解，即上有解，故只需（，由此可得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，不等式为，‎ 若，则原不等式可化为，所以；‎ 若，则原不等式可化为，所以；‎ 若，则原不等式可化为，所以．‎ 综上不等式解集为．‎ ‎（2）当时，由，得 即 故，‎ 又由题意知（，‎ 所以．‎ 故实数m的取值范围为．‎