【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标与参数方程基本题型学案

【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标与参数方程基本题型学案

‎2020届一轮复习人教A版 极坐标与参数方程基本题型 学案 除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及 （一） 有关圆的题型 题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离，算出d，在与半径比较。‎ 题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）‎ 思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离 ‎ 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：，‎ ‎ 相切、相交：‎ 题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式，d是圆心到直线的距离 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 ‎（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）‎ 弦长公式,解法参考“直线参数方程的几何意义”‎ ‎（二）距离的最值： ---用“参数法”‎ ‎ 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 ‎ 2.点与点的最值问题 ‎“参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ‎①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ‎②套公式：利用点到线的距离公式 ‎③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标 Ⅰ）的普通方程为，‎ 的直角坐标方程为.‎ ‎（解说：C1：‎ 这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边 ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为 ‎（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）‎ 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. ‎ ‎（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）‎ 当即当时，取得最小值，最小值为 ‎，此时的直角坐标为. ‎ ‎（三）直线参数方程的几何意义 ‎1.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1)t0=；‎ ‎(2)|PM|=|t0|=；‎ ‎(3)|AB|=|t2－t1|；‎ ‎(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|‎ ‎（5）‎ ‎（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）‎ ‎【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.‎ 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；‎ 2. 解题思路 第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程 第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：‎ 第三步：韦达定理：‎ 第四步：选择公式代入计算。‎ 例如：已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解　(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ （四） 一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离 思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。‎ 例如：（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．‎ 解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），‎ ‎∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．‎ ‎∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，‎ ‎∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，‎ 得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，‎ 化简，得ρ=2cosθ．‎ ‎（Ⅱ）依题意设A（），B（），‎ ‎∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，‎ 将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，‎ 解得ρ1=3，‎ 同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，‎ ‎∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．‎ （四） 面积的最值问题 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 例题2016•包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．‎ 解：（1）由，化简得：，‎ 消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，‎ ‎∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．‎ 由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，‎ 即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，‎ 则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；‎ ‎（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），‎ ‎∴|AB|==2，‎ 设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），‎ ‎∴P点到直线l的距离为d==，‎ ‎∴dmin==2，‎ 则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．‎