2019届二轮复习(文)对数函数及其性质学案(全国通用)

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文档介绍

2019届二轮复习(文)对数函数及其性质学案(全国通用)

‎【母题原题1】【2018新课标1,文13】已知函数,若,则 .‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】‎ 点睛:该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小,来确定有关参数值的问题,在求解的过程中,需要将自变量代入函数解析式,求解即可得结果,属于基础题目.‎ ‎【母题原题2】【2016新课标1,文8】若a>b>0,0<c<1,则 A. logac<logbc B. logca<logcb C. ac<bc D. ca>cb ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:对于选项A, , , ,而,所以,但不能确定的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B, , ,两边同乘以一个负数改变不等号方向,所以选项B正确;对于选项C,利用在第一象限内是增函数即可得到,所以C错误;对于选项D,利用在上为减函数易得,所以D错误.所以本题选B.‎ ‎【考点】指数函数与对数函数的性质 ‎【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.‎ ‎【命题意图】‎ ‎(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.‎ ‎(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.‎ ‎(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎(4)了解指数函数与对数函数互为反函数.‎ ‎【命题规律】‎ 一、对数与对数运算 ‎1.对数的概念 ‎(1)对数:一般地,如果,那么数 x叫做以a为底 N的对数,记作,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 学 ‎ ‎(2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.‎ ‎(3)对数式与指数式的互化:.‎ ‎2.对数的性质 根据对数的概念,知对数具有以下性质:‎ ‎(1)负数和零没有对数,即;‎ ‎(2)1的对数等于0,即;‎ ‎(3)底数的对数等于1,即;‎ ‎(4)对数恒等式.‎ ‎3.对数的运算性质 如果,那么:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3).‎ ‎4.对数的换底公式 对数的换底公式:.‎ 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.‎ 换底公式的变形及推广:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3)(其中a,b,c均大于0且不等于1,d>0).‎ 二、对数函数及其性质 ‎1.对数函数的概念 一般地,我们把函数叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是.‎ ‎2.对数函数的图象和性质 一般地,对数函数的图象与性质如下表所示:‎ 图象 定义域 值域 性质 过定点,即时,‎ 在上是减函数 在上是增函数 当x>1时,y<0;‎ 当0<x<1时,y>0‎ 当x>1时,y>0;‎ 当0<x<1时,y<0‎ 在直线的右侧,当时,底数越大,图象越靠近x轴;当时,底数越小,图象越靠近x 轴,即“底大图低”.‎ ‎3.对数函数与指数函数的关系 指数函数且)与对数函数且)互为反函数,其图象关于直线对称.‎ ‎【方法总结】学 ‎ ‎1.对数函数的图象过定点(1,0),所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题,只需令真数为1,解出相应的,即可得到定点的坐标.‎ ‎2.当底数时,对数函数是上的增函数,当时,底数的值越小,函数图象越“陡”,其函数值增长得越快;当底数时,对数函数是上的减函数,当时,底数的值越大,函数图象越“陡”,其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.‎ ‎3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数和的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.‎ ‎4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.‎ ‎ ‎ 对数运算的一般思路:‎ ‎5.(1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;‎ ‎(2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.‎ ‎1.若xlog34=1,则4x+4–x=‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 条件可化为x=log43,运用对数恒等式,即可。‎ ‎【详解】‎ ‎∵xlog34=1,∴x=log43,∴4x=3,∴4x+4–x=3+.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数性质的简单应用,属于基础题目。‎ ‎2.【青海省西宁市2018届高三下学期复习检测二(二模)】函数的图像大致为( ) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛:本题考查函数的图象和性质等知识,意在考查学生的识图能力.‎ ‎3.【福建省百校2018届下学期临考冲刺】中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年,算筹记数的方法是:个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.‎ ‎ 学 ‎ ‎1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示,则的运算结果可用算筹表示为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:可先计算出的值,再根据表示数码写出相应结果.‎ 详解:,‎ 从题中所给表示数码知可用算筹表示,‎ 故选D.‎ 点睛:本题主要结合算筹计数法考查指数与对数的运算.核心关键在于能够准确计算出算式的值,并能仔细对照算筹数码,即可得正确结果.‎ ‎4.【山东省烟台市2018年春季高考第一次模拟考试】计算等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛:本题主要考查了对数的运算求值,其中熟记对数的运算公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎5.【安徽省肥东县高级中学2019届上学期高三8月调研考试】若, , ,则, ,的大小关系是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 学, , ,X,X,K]‎ ‎【解析】 ]‎ ‎【分析】‎ 直接利用中间量“0”,“1”判断三个数的大小即可. 学 ‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数的大小比较,一般来讲要转化为函数问题,利用函数的图象分布和单调性比较,有时也用到0,1作为比较的桥梁.‎ ‎6.【北京市通州区2018届下学期高三年级三模考试】标准的围棋棋盘共行列,个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有种不同的情况;而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即,下列数据最接近的是 ()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的计算,关键是掌握对数的运算性质.‎ ‎7.【重庆市綦江中学2018届高三高考适应性考试】已知函数 的零点为3,则=( )‎ A. 1 B. 2 C. D. 2017‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数零点的定义可得,解得,即可得函数的解析式,计算可得 的值,分析可得,结合函数的解析式可得答案. 学 ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点以及分段函数的解析式、分段函数求函数值,属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高,因此解决这类题一定要层次清楚,思路清晰.‎ ‎8.【河北省石家庄市行唐县三中、正定县三中、正定县七中2017届高三10月联考】若函数的图象过两点(-1,0)和(0,1),则( )‎ A. a=2,b=2 B. a=,b=2 C. a=2,b=1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于a,b的方程组,求解方程组即可确定a,b的值.‎ ‎【详解】‎ 若函数的图象过两点(-1,0)和(0,1),则:‎ ‎,据此可知:,则a=2,b=2.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的定义与运算,对数方程的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9.【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知函数,若,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛:本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用,属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数;2、求参数的取值范围;3、求不等式的解集;4、研究函数性质.‎ ‎10.已知函数的定义域为,值域为,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:由题函数的定义域为,值域为,求得当时,,当时,‎ ‎,即可求解得取值范围.‎ 详解:由题函数的定义域为,值域为,‎ 所以当时,;当时,或;‎ 所以当时,,当时,, ]‎ 所以,故选D.‎ 点睛:本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题,其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键,着重考查了推理与运算能力,试题属于基础题.‎ ‎11.【河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试】函数的单调递减区间是( ) 学 ]‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛:该题考查的是有关复合函数的单调区间的问题,在解题的过程中,需要首先化简函数解析式,之后根据复合函数单调性法则同增异减的原则,得到其结果,在解题的过程中,需要时刻注意定义域优先原则,得保证函数有意义,之后列出相应的式子,求得结果. 学 ‎ ‎12.【广东省广州市执信中学2018-2019学年度上学期高三测试】已知函数在区间上的最大值比最小值大2,则的值为( )‎ A. 2 B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的单调性与二次函数的单调性,以及利用单调性求最值,意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎13.【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习(一)】已知奇函数的定义域为,且对任意,若当时,则( )‎ A. B. C. -1 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:根据性质可得,然后再根据奇函数将问题转化到区间上解决即可.‎ 详解:由题意得,‎ 又函数为奇函数,‎ ‎∴.‎ 故选A.‎ 点睛:本题考查函数性质的综合运用及求函数值,解题的关键是根据所给出的函数的性质将所求值进行转化,逐步转化到区间上,再根据对数运算求得.‎ ‎14.【江西师范大学附属中学2018届高三年级测试(三模)】已知函数,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛:(1)本题主要考查函数求值和指数对数运算,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.(2)解答本题的关键是整体代入求值.‎ ‎15.【山西省运城市康杰中学2018届高三高考模拟(一)】已知函数,则使得f(2x)>f(x+3) 成立的x的取值范围是 A. (-1,3) B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性,再判断函数的单调性,将 转化为进行求解. 学 ‎ 详解:因为,‎ 所以函数是偶函数,‎ 又在单调递减,在单调递增,‎ 所以,‎ 解得或.故选D.‎ 点睛:本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用,要注意:奇函数在对称的区间上单调性一致,偶函数在对称的区间上单调性相反.‎
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