2018届二轮复习推理与证明专题突破讲义学案文（全国通用）

2018届二轮复习推理与证明专题突破讲义学案文（全国通用）

第4讲　推理与证明 ‎1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现．‎ ‎2．直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．‎ 热点一　归纳推理 ‎1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．‎ ‎2．归纳推理的思维过程如下：‎ →→ 例1　(1)(2017·日照市模拟)给出下列等式：‎ ＝2cos ，‎ ＝2cos ，‎ ＝2cos ，‎ ‎…，‎ 请从中归纳出第n(n∈N*)个等式：＝________.‎ ‎ n个根号 答案　2cos 解析　因为已知等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为，角满足，所以＝2cos.‎ ‎(2)(2017届云南曲靖一中月考)如图是一个三角形数阵：‎ ‎1‎ 　 　　 　　　 按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为____________．‎ 答案　 解析　前15行共有＝120⇒所求为a122＝＝.‎ 思维升华　归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．‎ 跟踪演练1　(1)(2017·贵州省贵阳市第一中学适应性考试)观察下列不等式：‎ <，‎ ＋<4，‎ ＋＋<，‎ ＋＋＋<12，‎ ‎…，‎ 照此规律，第n个不等式为________________________．‎ 答案　＋＋＋…＋< 解析　由归纳推理可得，第n个不等式为＋＋＋…＋<.‎ ‎(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．‎ 答案　503　 解析　按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2)块，第3个图有白色地砖(3×7－3)块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.‎ 热点二　类比推理 ‎1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．‎ ‎2．类比推理的思维过程如下：‎ →→ 例2　(1)已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r；四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四面体的体积为(　　)‎ A．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R B．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R D．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R 答案　B 解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)．故选B.‎ ‎(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为__________________．‎ 答案　－＝1‎ 解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为－＝1，－＝1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以－＝1，－＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线－＝1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.‎ 思维升华　类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．‎ 跟踪演练2　(1)(2017·哈尔滨师范大学附属中学模拟)平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有＝；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有＝________.‎ 答案　 解析　由题设可得＝＝＝＝ (其中θ是射线PL与平面PAB所成的角)．‎ ‎(2)已知双曲正弦函数sh x＝和双曲余弦函数ch x＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________________________________．‎ 答案　ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y(答案不唯一)‎ 解析　ch xch y－sh xsh y ‎＝·－· ‎＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)‎ ‎＝(2ex－y＋2e－(x－y))‎ ‎＝＝ch(x－y)，‎ 同理可得ch(x＋y)＝ch xch y＋sh xsh y，‎ sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y，‎ sh(x＋y)＝sh xch y＋ch xsh y.‎ 热点三　直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．‎ 例3　已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足b1＝1，，求证：bn·bn＋21)，证明：方程f(x)＝0没有负根．‎ 证明　(1)要证＋＝，‎ 即证＋＝3，‎ 也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，‎ 故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ ‎(2)假设x0是f(x)＝0的负根，‎ 则x0<0，且x0≠－1，‎ 所以 解得0，则第n个不等式为________________．‎ 押题依据　根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．‎ 答案　x＋≥n＋1‎ 解析　已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当n＝1时，为；当n＝2时，为；当n＝3时，为；……‎ 显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，‎ 所以不等式左边的式子为x＋，‎ 显然不等式右边的式子为n＋1，‎ 所以第n个不等式为x＋≥n＋1.‎ ‎3．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列{Sn}不是等比数列．‎ 押题依据　反证法是一种重要的证明方法，直接证明不易证明时常采用反证法．‎ 证明　假设{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与q≠0矛盾，‎ 故{Sn}不是等比数列．‎ A组　专题通关 ‎1．(2017届辽宁葫芦岛普通高中月考)下面四个推理，不属于演绎推理的是(　　)‎ A．因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1,1]，2x－1∈R，所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也为[－1,1]‎ B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿 ‎ C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此 D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 答案　C 解析　C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理．‎ ‎2．(2017届三湘名校教育联盟联考)下面结论正确的是(　　)‎ ‎①一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式an＝n(n∈N*)；‎ ‎②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理；‎ ‎③在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适；‎ ‎④“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．‎ A．①② B．②③‎ C．③④ D．②④‎ 答案　D 解析　①所给条件无法确定整个数列满足通项公式．例如第四项是否为4，①错误；‎ ‎②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，是合情推理，②正确；‎ ‎③类比时，平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适， ③错误；‎ ‎④所给命题满足三段论推理，但其结论却是错误的，④正确．故选D.‎ ‎3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都不大于－2‎ B．都不小于－2‎ C．至少有一个不大于－2‎ D．至少有一个不小于－2‎ 答案　C 解析　假设a＋，b＋，c＋都大于－2，‎ 即a＋>－2，b＋>－2，c＋>－2，‎ 将三式相加，得a＋＋b＋＋c＋>－6，‎ 又因为a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，‎ 所以a＋＋b＋＋c＋≤－6，‎ 所以假设不成立，故选C.‎ ‎4．(2017届河南省郑州、平顶山、濮阳市二模)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为(　　)‎ A．42 B．65‎ C．143 D．169‎ 答案　B 解析　由题设可知当n＝4时，对角线的条数f(4)＝2＝3－1＝－1；当n＝5时，对角线的条数f(5)＝5＝6－1＝－1；可以归纳：对角线的条数与边数的函数关系f(n)＝－1.‎ 当n＝13时，对角线的条数f(13)＝－1＝65，故选B.‎ ‎5．(2017届江西师范大学附属中学月考)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　B 解析　∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假．若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾，∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话．由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．‎ ‎6．(2017届湖南长沙长郡中学模拟)设函数f(x)＝，观察：‎ f1(x)＝f(x)＝，‎ f2(x)＝f(f1(x))＝，‎ f3(x)＝f(f2(x))＝，‎ f4(x)＝f(f3(x))＝，‎ ‎…，‎ 根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得fn(1)＝________.‎ 答案　 解析　通过条件归纳推理可知fn(x)＝，‎ ‎∴fn(1)＝＝.‎ ‎7．(2017·江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学联考)观察以下三个不等式：‎ ‎①(12＋22＋32)(32＋42＋52)≥(1×3＋2×4＋3×5)2；‎ ‎②(72＋92＋102)(62＋82＋112)‎ ‎≥(7×6＋9×8＋10×11)2；‎ ‎③(202＋302＋2 0172)(992＋902＋2 0162)‎ ‎≥(20×99＋30×90＋2 017×2 016)2‎ 若2x＋y＋z＝－7，x，y，z∈R时，则(x＋1)2＋(y＋2)2＋(z＋1)2的最小值为________．‎ 答案　 解析　[(x＋1)2＋(y＋2)2＋(z＋1)2](22＋12＋12)≥(2x＋2＋y＋2＋z＋1)2＝4，故(x＋1)2＋(y＋2)2＋(z＋1)2≥＝.‎ ‎8．(2017届山东省枣庄市第三中学二调)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是39，则m的值为________．‎ 答案　6‎ 解析　依据题设中所提供的等式很容易发现其规律：‎ ‎53＝21＋23＋25＋27＋29,63＝31＋33＋35＋37＋39＋41，所以m＝6.‎ ‎9．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f .若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．‎ 答案　 解析　由题意知，凸函数满足 ≤f ，‎ 又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，‎ 则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.‎ ‎10．已知a，b，m为非零实数，且a2＋b2＋2－m＝0，＋＋1－‎2m＝0.‎ ‎(1)求证：＋≥；‎ ‎(2)求证：m≥.‎ 证明　(1)(分析法)要证＋≥成立，‎ 只需证(a2＋b2)≥9，‎ 即证1＋4＋＋≥9，‎ 即证＋≥4.‎ 根据基本不等式，有＋≥2 ＝4成立，‎ 当且仅当b2＝‎2a2时“＝”成立．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎(2)(综合法)因为a2＋b2＝m－2，＋＝‎2m－1，‎ 由(1)知(m－2)(‎2m－1)≥9，即‎2m2‎－‎5m－7≥0，‎ 解得m≤－1或m≥.又因为a2＋b2＝m－2>0.‎ 所以m>2，故m≤－1舍去，所以m≥.‎ B组　能力提高 ‎11．(2017·北京市海淀区期末)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i (i＝1,2,3,4)次，每次转动90°，记Ti (i＝1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若x1＋x2＋x3＋x4<0，y1＋y2＋y3＋y4<0，则以下结论正确的是(　　)‎ A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数 B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数 C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数 D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数 答案　A 解析　根据题意可知，(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)>0，又(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)＝T1＋T2＋T3＋T4>0，所以可知T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A.‎ ‎12．(2017届陕西省黄陵中学月考)有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章算式》方田章源田术(刘徽注)中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似地可以把循环小数化为分数，把0.化为分数的结果为__________．‎ 答案　 解析　设0.＝x，则x＝0.36＋，x＝.‎ ‎13．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如＝＋，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n＝5,7,9,11…)的分数的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此规律，＝________；＝________(n＝5,7,9,11)．‎ 答案　＋　＋ 解析　＝＋，表示两个面包分给7个人，每人，不够，每人，余，再将这分成7份，每人得，其中4＝，28＝7×；＝＋，表示两个面包分给9个人，每人，不够，每人，余，再将这分成9份，每人得，其中，5＝，45＝9×.按此规律，表示两个面包分给11个人，每人 ‎，不够，每人，余，再将这分成11份，每人得，所以＝＋，其中，6＝ ,66＝11×，＝＋.‎ ‎14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 解　方法一　(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°‎ ‎＝1－sin 30°＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2‎ ‎－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.‎ 方法二　(1)同方法一．‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎