河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 （解析版）

河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 （解析版）

河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 卷Ⅰ（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.设全集，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,或 即，，故选：A ‎2.函数的零点所在区间　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，可得函数在定义域上为增函数，，，‎ 所以，根据零点存在性定理，的零点所在区间为 ‎ 故选B．‎ ‎3.函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的对称轴方程为，‎ 函数在区间上是增函数，所以，‎ 解得.故选:D.‎ ‎4.若扇形的圆心角，弦长，则弧长（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设扇形的半径为，依题意，‎ 弧长.‎ 故选:B.‎ ‎5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】得到的偶函数解析式为，显然 ‎6.已知函数若，则＝(　　)‎ A. － B. 3‎ C. －或3 D. －或3‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，若，则；当时，若，则，不满足舍去．于是，可得.‎ 故.故本题选A.‎ ‎7.在中，，为的中点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 为的中点，，‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎8.已知定义在R上奇函数满足，且当时，，则下列不等式正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，所以，的周期.又，且有，‎ 所以，.‎ 又，所以，即，‎ 因为时，，‎ 所以 又，所以，所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎9.若，，且，，则的值是（）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】，，，，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，，即，，‎ ‎，，‎ ‎；‎ 又，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，，，，‎ ‎，，.‎ 故选B ‎10.已知函数且，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以,为偶函数，‎ 因为当时，单调递增，所以等价于，即，或，‎ 选A.‎ ‎11.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，两边平方可得，‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎12.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数图象与直线相邻两个交点的距离为，‎ 所以周期，‎ 对任意恒成立，‎ 即，恒成立，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，解得.‎ 故选:B.‎ 卷Ⅱ（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数的定义域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数有意义需，‎ 解得或；函数的定义域为.故答案为:.‎ ‎14.已知函数的部分图象如图所示，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图像可得，‎ 函数取得最小值，‎ 所以，‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎15.设，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ ‎16.设函数的最大值为，最小值为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎，，‎ 为奇函数，，‎ ‎.‎ 故答案为:2‎ 三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其它题12分，共70分.）‎ ‎17.已知角的终边在直线上.‎ ‎（1）求，并写出与终边相同的角的集合；‎ ‎（2）求值.‎ 解：（1）∵角的终边在直线上，‎ ‎∴，与终边相同的角的集合 ‎，‎ 即；‎ ‎（2）‎ ‎18.已知函数，‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）用“五点作图法”作出在上的图象；（要求先列表后作图）‎ ‎（3）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值.‎ 解：（1），‎ 由，‎ 解得 ‎ 的单调增区间，；‎ ‎（2），，列表如下：‎ ‎（3）向右平移个单位得到函数，‎ 所以，，‎ 当时，取得最小值为，‎ 当时，取得最大值为，‎ 所以函数的最小值为，最大值为.‎ ‎19.已知定义域为R的函数，是奇函数.‎ ‎（1）求，的值，并用定义证明其单调性；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 解：（1）因为是奇函数，所以，即，‎ ‎∴，又由知，‎ 所以，，经检验，时，是奇函数，‎ ‎，‎ 则，且，则 ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴在R上是单调递减；‎ ‎（2）因为奇函数，‎ 所以等价于 ‎，‎ 因为为减函数，由上式可得：，‎ 即对一切有：，‎ 从而判别式，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎20.美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.‎ ‎（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；‎ ‎（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？‎ ‎（3）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所过利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金）‎ 解：（1）设投入资金千万元，则生产芯片的毛收入；‎ 将 代入，得 ‎ 所以，生产芯片的毛收入.‎ ‎（2）由，得；由，得；‎ 由，得.‎ 所以，当投入资金大于千万元时，生产芯片的毛收入大；‎ 当投入资金等于千万元时，生产、芯片的毛收入相等；‎ 当投入资金小于千万元，生产芯片的毛收入大.‎ ‎（3）公司投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产芯片.公司所获利润 ‎ 故当，即千万元时，公司所获利润最大.最大利润千万元.‎ ‎21.已知函数是偶函数.‎ ‎（1）求实数值；‎ ‎（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.‎ 解 ：（1）因为是上的偶函数，‎ 所以，即 解得，经检验：当时，满足题意.‎ ‎（2）因为，所以 因为时，存在零点，‎ 即关于的方程有解，‎ 令，则 因为，所以，所以，‎ 所以，实数的取值范围是.‎ ‎（3）因为函数与的图像只有一个公共点，‎ 所以关于的方程有且只有一个解，‎ 所以 令，得 （*），记，‎ ‎①当时，方程（*）的解为，不满足题意，舍去；‎ ‎②当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；‎ ‎③当时，且时，解得，‎ 方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎22.如图，在半径为，圆心角为的扇形金属材料中剪出一个四边形，其中、两点分别在半径、上，、两点在弧上，且，.‎ ‎（1）若、分别是、中点，求四边形面积的最大值；‎ ‎（2），求四边形面积的最大值.‎ 解：（1）连接、，则四边形为梯形，‎ 设，则，‎ 且此时，四边形面积，‎ ‎∴，取最大值；‎ ‎（2）设，‎ 由可知，，‎ ‎ ‎ ‎∴四边形面积 ‎，‎ ‎∴，取最大值为.‎