河北省沧州市2020届高三一模数学（理）试题

河北省沧州市2020届高三一模数学（理）试题

‎2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合和,即可根据交集的运算求出.‎ ‎【详解】∵,而,‎ ‎∴‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题.‎ ‎2.设（是虚数单位），则（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．‎ ‎【详解】∵，∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，‎ 属于容易题．‎ ‎3.已知等差数列的前项和为，，，则（ ）‎ A. 25 B. ‎32 ‎C. 35 D. 40‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．‎ ‎【详解】设等差数列的首项为，公差为，则 ‎，解得，∴，即有．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．‎ ‎4.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如下：‎ 嘉宾 评分 嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出、，进而可得出结论.‎ ‎【详解】由表格中的数据可知，，‎ 由频率分布直方图可知，，则，‎ 由于场外有数万名观众，所以，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．‎ ‎【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；‎ 其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意，排除C.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．‎ ‎6.若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.‎ ‎【详解】设平面向量与的夹角为，，可得，‎ 在等式两边平方得，化简得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7.已知为等比数列，，，则（ ）‎ A. 9 B. －‎9 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.‎ ‎【详解】∵,∴,又,可解得或 设等比数列的公比为,则 当时,, ∴；‎ 当时, ,∴.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.‎ ‎8.已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线 垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，‎ 由题意可知，直线与直线垂直，，，‎ 因此，双曲线的离心率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围, 再利用对数的运算性质和换底公式化简,即可得出三个式子的大小关系.‎ ‎【详解】∵,即,‎ ‎,即,‎ ‎,即,‎ ‎∴,即有.‎ ‎∵,即,‎ ‎∴.‎ 综上, .‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数的运算性质, 换底公式以及对数函数的单调性的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.‎ ‎10.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.‎ ‎【详解】设点、，并设直线的方程为，‎ 将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，‎ 由韦达定理得，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，可得，，‎ 抛物线的准线与轴交于，‎ 的面积为，解得，则抛物线的方程为，‎ 所以，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.‎ ‎【详解】设,根据图象可知,‎ ‎,‎ 再由, 所以,‎ ‎∴‎ 将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,‎ ‎∴.‎ ‎,,‎ 令,则,显然,‎ ‎∴是的必要不充分条件.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.‎ ‎12.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从‎2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为（）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意分别求出事件A：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B：检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.‎ ‎【详解】设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”,‎ 事件B：检测6个人确定为“感染高危户”,‎ ‎∴,.‎ 即 设,则 ‎∴‎ 当且仅当即时取等号,即.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若、满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 联立，解得，即点，‎ 平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.‎ ‎14.已知函数为奇函数，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值.‎ ‎【详解】由于函数为奇函数，则，即，‎ ‎，整理得，解得.‎ 当时，真数，不合乎题意；‎ 当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意.‎ 综上所述，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.‎ ‎【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有种；‎ ‎②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；‎ ‎③若“角”在第二个或第四个位置上,则有种；‎ 综上，共有种.‎ 故答案为：32．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.‎ ‎16.在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,‎ 即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.‎ 则为二面角的平面角的补角,即有.‎ ‎∵易证面,∴,而三角形为等边三角形, ∴为的中点.‎ 设, .‎ ‎∴.‎ 故三棱锥的体积为 当且仅当时,,即.‎ ‎∴三点共线.‎ 设三棱锥的外接球的球心为,半径为.‎ 过点作于,∴四边形为矩形.‎ 则,,,‎ 在中,,解得.‎ 三棱锥的外接球的表面积为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,‎ 以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.如图，在中，，，点在线段上.‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出；‎ ‎（2）分别在和中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出，再根据余弦定理求出，即可根据求出的面积．‎ ‎【详解】（1）由，得，所以.‎ 由正弦定理得，，即，得.‎ ‎（2）由正弦定理，在中，，①‎ 在中，，②‎ 又，，，‎ 由得，‎ 由余弦定理得，‎ 即，解得，‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎18.如图，在四棱柱中，底面为菱形，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明平面即可．‎ 由为菱形可得，连接和与的交点，‎ 由等腰三角形性质可得，即能证得平面；‎ ‎（2）由题意知，平面，可建立空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，再分别求出平面的法向量，平面的法向量，即可根据向量法求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）如图，设与相交于点，连接，‎ 又为菱形，故，为的中点.‎ 又，故.‎ 又平面，平面，且，‎ 故平面，又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）由是等边三角形，可得，故平面，‎ 所以，，两两垂直.如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 不妨设，则，，‎ 则，，，，，，‎ 设为平面的法向量，‎ 则即可取，‎ 设为平面的法向量，‎ 则即可取，‎ 所以.‎ 所以二面角的余弦值为0.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题．‎ ‎19.某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：‎ ‎（1）估计该批次产品长度误差绝对值数学期望；‎ ‎（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列，再根据期望公式即可求出；‎ ‎（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为，可根据上述方法求出，解，即可得出最小值.‎ ‎【详解】（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：‎ ‎0‎ ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.04‎ 频率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.075‎ ‎0.025‎ 所以的数学期望的估计为 ‎.‎ ‎（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件，则，故不符合概率不小于0.8的要求.‎ 设生产一件产品为标准长度的概率为，‎ 由题意，又，解得，‎ 所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的应用，对立事件的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．‎ ‎20.已知椭圆经过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点、、，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式，并代入韦达定理，消去，可得出点的横坐标，进而可得出结论.‎ ‎【详解】（1）由题意得，解得，.‎ 所以椭圆的方程是；‎ ‎（2）设直线的方程为，、、，‎ 由，得.‎ ‎，则有，，‎ 由，得，由，可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上，点在定直线上.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎21.设函数，是函数导数.‎ ‎（1）若，证明在区间上没有零点；‎ ‎（2）在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；‎ ‎（2）由题意可将转化为，构造函数，‎ 利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】（1）若，则，，‎ 设，则，，‎ ‎，故函数是奇函数．‎ 当时，，，这时，‎ 又函数是奇函数，所以当时，.‎ 综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.‎ 又，，‎ 故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.‎ ‎（2），由，所以恒成立，‎ 若，则，设，‎ ‎.‎ 故当时，，又，所以当时，，满足题意；‎ 当时，有，与条件矛盾，舍去； ‎ 当时，令，则，‎ 又，故在区间上有无穷多个零点，‎ 设最小的零点为，‎ 则当时，，因此在上单调递增.‎ ‎，所以.‎ 于，当时，，得，与条件矛盾.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，进而可化简得出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）根据变换得出的普通方程为，可设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由（为参数），得，化简得，‎ 故直线的普通方程为.‎ 由，得，又，，.‎ 所以的直角坐标方程为；‎ ‎（2）由（1）得曲线的直角坐标方程为，向下平移个单位得到，‎ 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为，‎ 所以曲线的参数方程为（为参数）.‎ 故点到直线的距离为，‎ 当时，最小为.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎23.已知，，函数的最小值为.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立；‎ ‎（2）由可得出，并将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可得出实数的最大值.‎ ‎【详解】（1）.‎ 当时，函数单调递减，则；‎ 当时，函数单调递增，则；‎ 当时，函数单调递增，则.‎ 综上所述，，所以；‎ ‎（2）因为恒成立，且，，所以恒成立，即.‎ 因为，当且仅当时等号成立，‎ 所以，实数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎