2020版高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习学案 新人教A版选修2-3
1
第二章 随机变量及其分布
章末复习
学习目标 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，
并掌握两个特殊的分布列——二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的
概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．
1．离散型随机变量的分布列
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可
以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
(2)若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，
n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则称表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，具有性质：
①pi ≥ 0，i＝1,2，…，n；
②∑
n
i＝1
pi＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量 X 的分布列为
X 1 0
P p q
其中 0
0)．
在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)＝nAB
nA
.
(2)条件概率具有的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，
则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
5．相互独立事件
(1)对于事件 A，B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A，B 是相互独立事件．
(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
(4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立．
6．二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试
验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都
是一样的．
(2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为
p，则 P(X＝k)＝Ck
npk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X～
B(n，p)，并称 p 为成功概率．
7．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
3
(1)均值
称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随
机变量取值的平均水平．
(2)方差
称 D(X)＝∑
n
i＝1
(xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均
偏离程度，其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差．
(3)均值与方差的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b 为常数)
(4)两点分布与二项分布的均值、方差
①若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
8．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝ 1
2πσ
2
2
( )
2e
x
，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，
μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；
③曲线在 x＝μ处达到峰值 1
σ 2π
；
④曲线与 x 轴之间的面积为 1 ；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数 a，b (ay，
解得
x＝1
2
，
y＝1
3
.
所以甲地降雨的概率为1
2
，乙地降雨的概率为1
3
.
(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为 P＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
6
＝1
2
×2
3
＋1
2
×1
3
＝1
2
.
X 的可能取值为 0,1,2,3.
P(X＝0)＝C0
3
1
2 3＝1
8
，
P(X＝1)＝C1
3
1
2 1 1－1
2 2＝3
8
，
P(X＝2)＝C2
3
1
2 2 1－1
2 ＝3
8
，
P(X＝3)＝C3
3
1－1
2 3＝1
8
，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
8
3
8
3
8
1
8
所以 E(X)＝0×1
8
＋1×3
8
＋2×3
8
＋3×1
8
＝3
2
.
方差 D(X)＝1
8
×
0－3
2 2＋3
8
×
1－3
2 2＋3
8
×
2－3
2 2＋1
8
×
3－3
2 2＝3
4
.
反思与感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
①“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问
题的唯一工具．
②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
③公式“P(A∪B)＝1－P( A B )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率．
(2)二项分布的判定
与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：
①每次试验中，事件发生的概率是相同的．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
④随机变量是这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数．
跟踪训练 2 在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，
已知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独
7
立的，且命中的概率都是2
3
.
(1)求油灌被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于 4 的概率．
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击 5 次只击中一次
或一次也没有击中，故该事件的概率为
P＝C1
5×2
3
×
1
3 4＋
1
3 5，
所以所求的概率为
1－P＝1－ C1
5×2
3
×
1
3 4＋
1
3 5
＝232
243
.
(2)当ξ＝4 时，记事件为 A，
则 P(A)＝C1
3×2
3
×
1
3 2×2
3
＝ 4
27
，
当ξ＝5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B.
则 P(B)＝C1
4×2
3
×
1
3 3＋
1
3 4＝1
9
，
所以所求概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ 4
27
＋1
9
＝ 7
27
.
类型三 离散型随机变量的均值与方差
例 3 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾
客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾
客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求：
①顾客所获的奖励额为 60 元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元
的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能
符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适
的设计，并说明理由．
考点 均值与方差的应用
8
题点 均值与方差的综合应用
解 (1)设顾客所获的奖励额为 X，
①依题意，得 P(X＝60)＝C1
1·C1
3
C2
4
＝1
2
，
即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1
2
.
②依题意得 X 的所有可能取值为 20,60，
P(X＝20)＝C2
3
C2
4
＝1
2
，P(X＝60)＝1
2
，
即 X 的分布列为
X 20 60
P 1
2
1
2
所以这位顾客所获奖励额的均值为 E(X)＝20×1
2
＋60×1
2
＝40.
(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为 60 元，所以先寻找均值为 60 元的可能方案．
对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为 60 元是面值之
和的最大值，所以均值不可能为 60 元．
如果选择(50,50,50,10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为 60
元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1，对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同
理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，
记为方案 2，
以下是对这两个方案的分析：
对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为 X1，则 X1 的分布列为
X1 20 60 100
P 1
6
2
3
1
6
X1 的均值 E(X1)＝20×1
6
＋60×2
3
＋100×1
6
＝60.
X1 的方差 D(X1)＝(20－60)2×1
6
＋(60－60)2×2
3
＋(100－60)2×1
6
＝1 600
3
，
对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则 X2 的分布列为
X2 40 60 80
9
P 1
6
2
3
1
6
X2 的均值 E(X2)＝40×1
6
＋60×2
3
＋80×1
6
＝60，
X2 的方差 D(X2)＝(40－60)2×1
6
＋(60－60)2×2
3
＋(80－60)2×1
6
＝400
3
.
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小，所以应该选
择方案 2.
反思与感悟 求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤
(1)理解 X 的意义，写出 X 可能的全部取值；
(2)求 X 取每个值的概率或求出函数 P(X＝k)；
(3)写出 X 的分布列；
(4)由分布列和均值的定义求出 E(X)；
(5)由方差的定义，求 D(X)，若 X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1
－p)．
跟踪训练 3 某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，…，8，其中 X≥5
为标准 A，X≥3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂
执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行
标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的分布列如下表：
X1 5 6 7 8
P 0.4 a b 0.1
且 X1 的均值 E(X1)＝6，求 a，b 的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组
成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的均值；
(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具有可购买性？说
明理由．
注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的均值
产品的零售价
；
10
②“性价比”高的产品更具有可购买性．
考点 均值与方差的应用
题点 均值与方差的综合应用
解 (1)∵E(X1)＝6，
∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，
即 6a＋7b＝3.2，
又由 X1 的分布列得 0.4＋a＋b＋0.1＝1，
即 a＋b＝0.5.
由
6a＋7b＝3.2，
a＋b＝0.5，
解得
a＝0.3，
b＝0.2.
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：
X2 3 4 5 6 7 8
f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2 的分布列如下：
X2 3 4 5 6 7 8
P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
∴E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙厂产品的等级系
数的均值为 4.8.
(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
甲厂产品的等级系数的均值为 6，价格为 6 元/件，
其性价比为6
6
＝1，
乙厂产品的等级系数的均值等于 4.8，价格为 4 元/件，
其性价比为4.8
4
＝1.2.
∴乙厂的产品更具有可购买性．
类型四 正态分布的应用
例 4 为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取 100 袋作为样
本，称其重量为
重
量
kg
9.
5
9.
6
9.
7
9.
8
9.
9
10.
0
10.
1
10.
2
10.
3
10.
4
10.
5
10.
6
10.
7
10.
8
合
计
11
包
数
1 1 3 5 6 19 34 18 3 4 2 1 2 1 100
经计算：样本的平均值μ＝10.10，标准差σ＝0.21.
(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为 X(kg)，并根据以下不等
式进行评判．
①P(μ－σ0.682 6，
P(μ－2σa2＋7)成立的一个必要不充分
条件是( )
A．a＝1 或 2 B．a＝±1 或 2
C．a＝2 D．a＝3－ 5
2
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线性质的应用
答案 B
解析 ∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1 或 2.故选 B.
5．(2017·福建莆田二十四中高二期中)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测
试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过
测试的概率为( )
16
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 A
解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 C2
30.62×0.4＋C3
30.63＝0.648.
6．命题 r：随机变量ξ～N(3，σ2)，若 P(ξ≤2)＝0.4，则 P(ξ≤4)＝0.6.命题 q：随机变
量η～B(n，p)，且 E(η)＝200，D(η)＝100，则 p＝0.5.则( )
A．r 正确，q 错误
B．r 错误，q 正确
C．r 错误，q 也错误
D．r 正确，q 也正确
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的综合应用
答案 D
解析 因为随机变量ξ～N(3，σ2)，所以正态曲线关于 x＝3 对称，又 P(ξ≤2)＝0.4，则
P(ξ>4)＝P(ξ≤2)＝0.4，所以 P(ξ≤4)＝0.6，所以 r 是正确的；随机变量η～B(n，p)，
且 E(η)＝np＝200，D(η)＝np(1－p)＝100，所以 200(1－p)＝100，解得 p＝0.5，所以 q
是正确的．故选 D.
7．节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5 元，销售价是每束 5 元；节日卖不出去的鲜花以每
束 1.6 元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量 X 服从如表所示
的分布列
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若进这种鲜花 500 束，则利润的均值为( )
A．706 元 B．690 元
C．754 元 D．720 元
考点 离散型随机变量均值的概率与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 因为 E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，
所以利润的均值为 340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706 元，故选 A.
8．某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是
17
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于 80 分的学
生中随机选取 2 人，这 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为ξ，则ξ的均值为( )
A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.3
4
考点 常见的几种均值
题点 与排列、组合有关的随机变量的均值
答案 B
解析 由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得 x＝
0.018，∴成绩不低于 80 分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在 90 分以上(含
90 分)的学生人数为 0.006×10×50＝3，
∴ξ的可能取值为 0,1,2，P(ξ＝0)＝C2
9
C2
12
＝ 6
11
，P(ξ＝1)＝C1
3×C1
9
C2
12
＝ 9
22
，P(ξ＝2)＝C2
3
C2
12
＝ 1
22
，
∴E(ξ)＝0× 6
11
＋1× 9
22
＋2× 1
22
＝1
2
.
二、填空题
9．盒中有 10 支螺丝钉，其中 3 支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一
支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为 ．
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 1
3
解析 记事件 A 为“第一支抽取为好的”，事件 B 为“第二支是坏的”，则
P(A)＝ 7
10
，
P(AB)＝ 7
10
×3
9
＝ 7
30
，
18
∴P(B|A)＝PAB
PA
＝1
3
.
10．甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛
结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为2
5
，3
5
，则甲胜出的概率为 ．
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 16
25
解析 方法一 甲胜的情况为：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，②举行两局比赛，第
一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为2
5
，3
5
×2
5
，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率
为2
5
＋3
5
×2
5
＝16
25
.
方法二 因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局
比赛都是乙胜出，其概率为3
5
×3
5
＝ 9
25
，所以甲胜出的概率为 1－ 9
25
＝16
25
.
11．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得 50 元，生产一件乙等品可获得 30
元，生产一件次品，要赔 20 元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为
0.6,0.3 和 0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元．
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 37
解析 设生产一件该产品可获利钱数为 X，则随机变量 X 的取值可以是－20,30,50.依题意，
X 的分布列为
X －20 30 50
P 0.1 0.3 0.6
故 E(X)＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37(元)．
12．一批玉米种子的发芽率是 0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则
每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于 98%.(lg 2＝0.301 0)
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 3
解析 记事件 A 为“种一粒种子，发芽”，
19
则 P(A)＝0.8，P( A )＝1－0.8＝0.2.
因为每穴种 n 粒相当于做了 n 次独立重复试验，记事件 B 为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则 P( B )＝C0
n0.80(1－0.8)n＝0.2n，
所以 P(B)＝1－P( B )＝1－0.2n.
根据题意，得 P(B)>98%，即 0.2n<0.02.
两边同时取以 10 为底的对数，得
nlg 0.2lg 2－2
lg 2－1
＝－1.699 0
－0.699 0
≈2.43.
因为 n∈N*，
所以 n 的最小正整数值为 3.
三、解答题
13．一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字
是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片．
(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)用 X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与均值．
(注：若三个数 a，b，c 满足 a≤b≤c，则称 b 为这三个数的中位数)
考点 常见的几种均值
题点 与排列、组合有关的随机变量的均值
解 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率 P＝C3
4＋C3
3
C3
9
＝ 5
84
.
(2)X 的所有可能取值为 1,2,3，
则 P(X＝1)＝C2
4×C1
5＋C3
4
C3
9
＝17
42
，
P(X＝2)＝C1
3×C1
4×C1
2＋C2
3×C1
6＋C3
3
C3
9
＝43
84
，
P(X＝3)＝C2
2×C1
7
C3
9
＝ 1
12
.
故 X 的分布列为
X 1 2 3
P 17
42
43
84
1
12
20
从而 E(X)＝1×17
42
＋2×43
84
＋3× 1
12
＝47
28
.
四、探究与拓展
14．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为4
5
.第一次抽奖，若未中奖，则抽
奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若
抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须
进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金 1 000 元；若未中奖，则所获得的
奖金为 0 元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为2
5
，每次中奖均可获得奖金 400 元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖．哪个方案更划算？
考点 均值、方差的综合应用
题点 均值与方差在实际中的应用
解 (1)由题意得，X 的所有可能取值为 0,500,1 000，则 P(X＝0)＝1
5
＋4
5
×1
2
×1
5
＝ 7
25
，
P(X＝500)＝4
5
×1
2
＝2
5
，
P(X＝1 000)＝4
5
×1
2
×4
5
＝ 8
25
，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列为
X 0 500 1 000
P 7
25
2
5
8
25
(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金 X 的均值 E(X)＝500×2
5
＋1 000× 8
25
＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B
3，2
5 ，
则 E(ξ)＝3×2
5
＝6
5
，抽奖所获奖金 Y 的均值 E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案
甲较划算．
15．某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售．如
21
果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，
n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、均值及方差；
②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由．
考点 均值、方差的综合应用
题点 均值与方差在实际中的应用
解 (1)当日需求量 n≥16 时，利润 y＝80.
当日需求量 n<16 时，利润 y＝10n－80.
所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为
y＝
10n－80，n<16，
80，n≥16.
(n∈N)
(2)①X 可能的取值为 60,70,80，并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
故 X 的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，
D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②方法一：花店一天应购进 16 枝玫瑰花．
理由如下：
若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，
D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝
22
112.04.
由以上的计算结果可以看出，D(X)
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