2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 ‎ 注意事项:‎ 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。‎ 2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。‎ 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(共50分)‎ ‎1. 第一部分(共50分)‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为 ‎ (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,所以选B ‎ ‎2. 已知向量 , 若a//b, 则实数m等于 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) 或 (D) 0‎ ‎2. 【答案】C ‎【解析】,所以选C ‎ ‎3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎3. 【答案】B ‎【解析】a, b,c≠1. 考察对数2个公式: ‎ 对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假。‎ 10‎ 对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真。‎ 对选项C: ,显然与第一个公式不符，所以为假。‎ 对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假。‎ 所以选B ‎ 输入x If x≤50 Then y = 0.5 * x Else ‎ ‎ y = 25 + 0.6*(x-50)‎ End If 输出y ‎ ‎4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为 ‎ (A) 25‎ ‎ (B) 30‎ ‎ (C) 31‎ ‎ (D) 61‎ ‎4. 【答案】C ‎【解析】,所以选C ‎5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 ‎ (A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45‎ ‎5. 【答案】D ‎【解析】组距为5，二等品的概率为。所以，从该批产品中随机抽取1件，则其是二等品的概率为0.45. 所以选D ‎6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是 ‎ (A) 若, 则z是实数 (B) 若, 则z是虚数 ‎ (C) 若z是虚数, 则 (D) 若z是纯虚数, 则 ‎ ‎6. 【答案】C ‎【解析】。经观察，C和D选项可能是互相排斥的，应重点注意。‎ 对选项A: ,所以为真。‎ 对选项B: ,所以为真.‎ 10‎ 对选项C: ,所以为假 对选项D: ,所以为真.‎ 所以选C ‎7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 ‎ (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2‎ ‎7. 【答案】A ‎【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值。所以选A ‎8. 已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是 ‎ (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定 ‎8. 【答案】B ‎【解析】点M(a, b)在圆 ‎=圆的半径，故直线与圆相交。‎ 所以选B.‎ ‎9. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 ‎ (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 ‎9. 【答案】A ‎【解析】因为，所以 又。联立两式得。‎ 所以。选A ‎10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 ‎ (A) [－x] = －[x] (B) [x + ] = [x]‎ ‎ (C) [2x] = 2[x] (D) ‎ ‎10. 【答案】D ‎【解析】代值法。‎ 对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。‎ 对B, 设x = 1.8, 则[x+] = 2, [x] = 1, 所以B选项为假。‎ 对C, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C选项为假。‎ 10‎ 故D选项为真。所以选D 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11. 双曲线的离心率为 .‎ ‎11. 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . ‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 = ‎ ‎13. 观察下列等式: ‎ ‎…‎ 照此规律, 第n个等式可为 . ‎ ‎13. 【答案】 ‎ ‎【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。‎ 第n个等式可为: ‎ ‎14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).‎ ‎14. 【答案】20‎ ‎【解析】 利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为y, 由三角形相似得: ‎ ‎.‎ ‎15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)‎ A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 . ‎ 10‎ B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知, PD = 2DA = 2, 则PE = . ‎ C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是 .‎ ‎15. A 【答案】R ‎【解析】 考察绝对值不等式的基本知识。函数的值域为：‎ ‎.‎ 所以，不等式的解集为R。‎ B 【答案】‎ ‎【解析】 ‎ C 【答案】 (1, 0)‎ ‎【解析】 ‎ 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）‎ ‎16. (本小题满分12分)‎ 已知向量, 设函数. ‎ ‎ (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎ (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. ‎ ‎16. 【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) .‎ ‎【解析】(Ⅰ) ‎ ‎=。‎ 最小正周期。‎ 所以最小正周期为。‎ 10‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎.‎ 所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为.‎ ‎17. (本小题满分12分) ‎ 设Sn表示数列的前n项和. ‎ ‎ (Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; ‎ ‎ (Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. ‎ ‎17. 【答案】(Ⅰ) ; ‎ ‎(Ⅱ) 是首项,公比的等比数列。‎ ‎【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则 ‎.‎ ‎ (Ⅱ) 。‎ ‎.‎ 所以,是首项,公比的等比数列。‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . ‎ 10‎ ‎ (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1; ‎ ‎ (Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积. ‎ ‎18. 【答案】 (Ⅰ) ,见下. ‎ ‎(Ⅱ) 1‎ ‎【解析】 (Ⅰ) 设.‎ ‎.‎ ‎.(证毕)‎ ‎(Ⅱ) .‎ 在正方形AB CD中,AO = 1 . ‎ ‎.‎ 所以，.‎ ‎19. (本小题满分12分) ‎ 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ ‎ (Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. ‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎6‎ ‎ (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. ‎ ‎19. 【答案】 (Ⅰ). ‎ 组别 A B C D E 10‎ 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。‎ 从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。‎ ‎(Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·‎ B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·‎ 现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率.‎ 所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.‎ ‎20. (本小题满分13分)‎ 已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. ‎ ‎ (Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程; ‎ ‎ (Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. ‎ ‎20. 【答案】 (Ⅰ). . (Ⅱ) ‎ ‎【解析】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则 ‎.‎ 所以，动点M的轨迹为 椭圆，方程为 ‎(Ⅱ) P(0, 3), 设 椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：‎ 所以，直线m的斜率 ‎21. (本小题满分14分)‎ 已知函数. ‎ 10‎ ‎ (Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; ‎ ‎ (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. ‎ ‎ (Ⅲ) 设a ‎ ‎(Ⅱ)【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=.‎ ‎.过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1‎ ‎(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点，过程如下。‎ 因此，‎ 所以，曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕）‎ ‎(Ⅲ) 设 令。‎ ‎，且 ‎。‎ 10‎ 所以 。‎ 10‎