广东省2021届高三数学上学期调研试题（Word版带答案）

广东省2021届高三数学上学期调研试题（Word版带答案）

广东省2021届高三年级上学期调研考试 数 学 考生注意：‎ ‎1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎ 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。‎ ‎ 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，集合，则中元素的个数为 A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎2．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．“一世”又叫“一代”，东汉王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继日世”．据国际一家研究机构的研究得到企业寿命的频率分布表为 家族企业寿命（年）‎ ‎[0,22]‎ ‎[22,44]‎ ‎[44,66]‎ ‎[66,88]‎ 频率 ‎54%‎ ‎28%‎ ‎14%‎ ‎4%‎ 则全球家族企业的平均寿命大约有 A．25年 B．26年 C．27年 D．28年 ‎4．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为(dB)．装修房屋时电钻的声音约为100dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的( )倍 A． B． C．4 D．‎ ‎5．已知，则 A．3 B． C．－3 D．‎ ‎6．在矩形中，，为矩形所在平面上一点，满足，则的最大值为 A． B．‎4 ‎ C． D．2‎ 11‎ ‎7．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若为坐标原点），则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知偶函数在上单调递增，则 A． B．‎ C． D．‎ 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．‎ ‎9．若，则下列正确的选项为 A． B． C． D．‎ ‎10．设为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中，真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎11．设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心， 为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则 A． B．是等边三角形 C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为 ‎12．下列四个命题正确的是 A．函数是奇函数；‎ B．当时，函数的最大值为 C．已知定义域为R的函数，当且仅当时，成立；‎ D．函数的最小值3．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．的展开式中常数项是 （用数字作答）．‎ ‎14．在等差数列中，已知，则= .‎ ‎15．函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为 .‎ 11‎ ‎16．已知是球的球面上四点，其中平面过球心为边长为2的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为 ．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）‎ 在中，角的对边分别为 ‎(1)求角；‎ ‎(2)若的面积为，求的值．‎ ‎18．（12分）‎ 已知数列是公差大于0的等差数列，，且成等比数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和 ‎19．（12分）‎ ‎《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某高中200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：‎ 喜欢《最强大脑》‎ 不喜欢《最强大脑》‎ 合计 男生 ‎70‎ 女生 ‎30‎ 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢《最强大脑》的概率为0.6．‎ ‎(1)判断是否有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关？‎ ‎(2)从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的节目类型，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.‎ 参考公式及数据：‎ P (K2‎ ≥ k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.46‎ ‎0.71‎ ‎1.32‎ ‎2.07‎ ‎2.71‎ ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 11‎ ‎20．（12分）‎ 如图，在直三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，为的中点．‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值．‎ ‎21．（12分）‎ 已知椭圆短轴长为2，是的左焦点，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)斜率为且不经过原点的直线与椭圆交于两点，若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率，并判断的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．‎ ‎22．（12分）‎ 设函数 ‎(1)若，求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．‎ 11‎ 数学参考答案 ‎1．C ‎ ‎2．D ‎ ‎3．B 家族企业的平均寿命为0.54×11+0.28×33+0.14×55+0.04×77=26‎ ‎4．A 由当时，可得；当时，可得，装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的 ‎5．D ‎ ‎6．A 点的轨迹是以为直径的圆，又 ‎7．C 由题知，，又，故双曲线的离心率为 ‎8．C为偶函数，在上单调递增，故在上单调递减．，，，‎ ‎，‎ ‎9．AC 由题意有 ‎10．CD ‎11．BCD ‎12．BCD A中函数定义域关于原点不对称，所以A错误；当时，，由余弦函数图象可知的值域是所以B 11‎ 正确；当时，；当时，；当时，，当时，，综上，时，，所以C正确．设，‎ ‎，，所以函数在上单调递减，所以函数的最小值为，所以D正确．‎ ‎13． ，令，则常数项为 ‎14．18 ，，‎ ‎15．或 题意可得，函数既有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不相等的实数根，即，解得或 ‎16． 如图，平面平面点在平面上的射 影落在上，根据球体的对称性可知，当在最高点，即为 中点时，最大，棱锥的体积最大.‎ 是边长为2的正三角形，球的半径．在中，，，体积 ‎17．解：(1)由正弦定理及，得，………2分 ‎，即 ‎，‎ 11‎ ‎ …………………………4分 ‎，，即 ‎. …………………………6分 ‎(2). ………………………8分 ‎ ……………………………10分 ‎18．解：(1)设数列的公差为，，且成等比数列，‎ ‎，即，…………………3分 解得（舍）或，……………………………4分 ‎. ………………………5分 ‎(2)由(1)可知，‎ 数列的前项和，………………………7分 ‎， ……………………9分 相减得， ……………………………11分 ‎，‎ ‎. ………………………………12分 ‎19．解：(1)由200×0.6=120及已知数据知满足题意的2×2列联表如下表所示：‎ 喜欢《最强大脑》‎ 不喜欢《最强大脑》‎ 合计 男生 ‎70‎ ‎50‎ ‎120‎ 女生 ‎50‎ ‎30‎ ‎80‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ ‎………………………2分 由列联表中数据，得到. ………………5分 因此没有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；………………………6分 11‎ ‎(2)由题意知，从不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，其中女生有3人，男生有5人，随机变量的取值可能为0，1，2，3，……………………7分 ‎，，‎ ‎，. …………………………11分 的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎. . …………………………12分 ‎20．解：(1)证明：三棱柱为直三棱柱，‎ 平面 平面 ……………………………2分 为等边三角形，为中点，‎ 又平面. ……………………………3分 平面，平面平面，…………………………5分 ‎(2)以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ ‎…………………………………7分 设平面的法向量为，则，，‎ 由，令，可得，‎ 则 ………………………9分 平面平面的一个法向量为，‎ ‎. ………………………11分 由图知，二面角的平面角为锐角，‎ 二面角的余弦值为. …………………………12分 11‎ ‎21．解：(1)设与轴的交点为，右交点为.‎ 由题意，则，…………………2分 当过右焦点时，周长取最大值，‎ 且，…………………………3分 椭圆的标准方程为，………………………………4分 ‎(2)设直线的方程为，，，‎ 由，得，‎ ‎，. ……………………………6分 由题知，‎ ‎， . …………………………8分 此时，，‎ 则 ‎，…………11分 故直线的斜率为，. ……………………12分 ‎22．解(1)当时，，，……………………2分 又，，，…………………………3分 即函数的图象在处的切线方程为. ……………………4分 ‎(2)当时，，‎ 11‎ 当时，令，……………………6分 则 令，则，又，‎ ‎，所以存在，使得当时，，所以当时，‎ 即在上单调递减，所以，‎ 这与题意矛盾． ………………………8分 当时，“不等式在区间上恒成立”等价于“不等式在区间上恒成立.”‎ 令，即“不等式在区间上恒成立”．‎ ‎，令，‎ 则．………………………9分 因为当时，，所以函数在区间上单调递增，‎ 所以函数在区间上最多有一个零点.‎ 又因为 所以存在唯一的，使得 ……………………………10分 当时，；当时，，‎ 11‎ 即当时，；当时，，‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 从而 ……………………11分 由，得，即，两边取对数得，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 所以不等式在区间上恒成立.‎ 所以的取值范围为. ………………………12分 11‎