2020届二轮复习(文)等差数列、等比数列作业

2020届二轮复习(文)等差数列、等比数列作业

专题限时集训(三)　等差数列、等比数列 ‎[专题通关练]‎ ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2019·青岛模拟)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝(　　)‎ A．1　　　　B．‎2　‎　　　C．3　　　　D. B　[在等差数列{an}中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2.故选B.]‎ ‎2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝‎9a4，a2＝1，则a1的值为(　　)‎ A．3 B．－‎3 C．－ D. D　[设数列{an}的公比为q，由a2·a6＝‎9a4，得a2·a2q4＝‎9a2q2，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.故选D.]‎ ‎3．(2019·长沙模拟)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和等于(　　)‎ A．130 B．‎120 C．55 D．50‎ C　[由a1＝2，an＋1－2an＝0可知，{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，故bn＝log2an＝n，故数列{bn}的前10项和为S10＝＝55.]‎ ‎4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ A　[由a4＋a6＝‎2a5＝－6得a5＝－3，则公差为＝2，所以由an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13≤0得n≤，所以前6项和最小，故选A.]‎ ‎5．(2019·郑州模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，＝Sn，则S10＝(　　)‎ A. B．－ C．10 D．－10‎ B　[由＝Sn，得an＋1＝SnSn＋1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，即－＝－1，所以数列是以＝＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以＝－10，所以S10＝－，故选B.]‎ ‎6．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.‎ 　[设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.‎ ‎∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，‎ 即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，‎ ‎∴S4＝＝.]‎ ‎7．(2019·自贡模拟)若等比数列{an}满足an＞0(n∈N*)，公比q＝2，且a1·a2·…·a30＝230，则a1·a4·a7·…·a25·a28＝________.‎ ‎1　[因为230＝a1·a2·…·a30＝a1·a1q·a1q2·a4·a4q·a4q2·…·a25·a25q·a25q2·a28·a28q·a28q2＝(a1·a4·…·a25·a28)3q30，又q＝2，所以a1·a4·a7·…·a25·a28＝1.]‎ ‎8．已知等差数列{an}的前9项和等于它的前4项和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.‎ ‎10　[设等差数列{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋d＝4‎ ‎×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×]＋[1＋(4－1)×]＝0，解得k＝10.]‎ ‎[能力提升练]‎ ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为‎3升，下面三节的容积之和为‎4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为(　　)‎ A.升 B.升 C.升 D.升 A　[自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝‎2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.故选A.]‎ ‎10．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 018＝(　　)‎ A．92 017 B．272 ‎017 C．92 018 D．272 018‎ D　[由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．‎ 数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.‎ 又cn＝ban＝33n，∴c2 018＝33×2 018＝272 018，故选D.]‎ ‎11．设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.‎ ‎[解]　(1)设{an}的公差为d.‎ 因为a2＋a3＝5ln 2，‎ 所以‎2a1＋3d＝5ln 2.‎ 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.‎ ‎(2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean-an－1＝eln 2＝2(n≥2)，‎ 所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 所以ean＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)．‎ ‎12．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.‎ ‎[解]　(1)由an＋1＝2Sn＋1，‎ 可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，‎ 两式相减得an＋1－an＝2an，‎ 则an＋1＝3an(n≥2)．‎ 又a2＝2S1＋1＝3，a1＝1，所以a2＝‎3a1.‎ 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.(n∈N*)．‎ ‎(2)设{bn}的公差为d.‎ 由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，‎ 故b1＝5－d，b3＝5＋d，‎ 又a1＝1，a2＝3，a3＝9，‎ 由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，‎ 可得(5－d＋1)·(5＋d＋9)＝(5＋3)2，‎ 解得d＝2或d＝－10.‎ 因为等差数列{bn}的各项为正，‎ 所以d＞0，所以d＝2，则b1＝3，‎ 所以Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.‎ 题号 内容 押题依据 ‎1‎ 等差数列的通项公式和前n 有关等差数列的基本运算是高考的高频考点，常考常新，应熟练掌握两类基本数列的“知三求二”问题的解法．本题利用方程思想，考查学生的数学运算素养，‎ 项和公式 具有很好的代表性 ‎2‎ 等差、等比数列的通项及前n项和公式 本题将等差数列、等比数列的基本运算有机结合，考查考生对数列通性通法的理解和应用，具有一定的综合性，该题考查考生的数学运算及逻辑推理素养 ‎【押题1】　正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a3＋a7－a＋15＝0，且Sn＝45，则n＝(　　)‎ A．8　　　　B．‎9　‎　　　C．10　　　　D．11‎ B　[因为{an}是正项等差数列，a3＋a7－a＋15＝0，‎ 所以a－‎2a5－15＝0，解得a5＝5(a5＝－3舍去)．‎ 设{an}的公差为d，由a5＝a1＋4d＝1＋4d＝5，解得d＝1.‎ 所以Sn＝＝＝＝45，即(n＋1)n＝90，‎ 进而得n2＋n－90＝(n＋10)(n－9)＝0，解得n＝9(n＝－10舍去)，故选B.]‎ ‎【押题2】　(2019·济宁一模)已知等差数列{an}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2＋S3＝10.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝bn＋，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d(d＞0)，等比数列{bn}的公比为q，‎ 由题意得 解得 ‎∴an＝n，bn＝2n.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝，‎ ‎∴cn＝bn＋＝2n＋＝2n＋2，‎ ‎∴Tn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋2 ‎＝＋2 ‎＝2n＋1－.‎