【数学】2019届一轮复习人教A版（文）1-1集合及其运算学案
1.1 集合及其运算
最新考纲 考情考向分析
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不
同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并
集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的
补集.
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.
集合的交、并、补运算及两集
合间的包含关系是考查的重
点，在集合的运算中经常与不
等式、函数相结合，解题时常
用到数轴和韦恩(Venn)图，考
查学生的数形结合思想和计
算推理能力，题型以选择题为
主，低档难度.
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或 N＋) Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn 图
子集
集合 A 中所有元素都在集合
B 中(即若 x∈A，则 x∈B)
A⊆B(或 B⊇A)
真子集
集合 A 是集合 B 的子集，且
集合 B 中至少有一个元素不
在集合 A 中
A B(或 B A)
集合相等
集合 A，B 中的元素相同或集
合 A，B 互为子集
A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn 图
交集
由属于集合A 且属于集合 B
的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}
并集
由所有属于集合 A 或属于
集合 B 的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}
补集
由全集 U 中不属于集合 A
的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U 且 x∉A}
知识拓展
1．若有限集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n－1.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( × )
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ )
(5)对于任意两个集合 A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √ )
(6)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C.( × )
题组二 教材改编
2．[P11 例 9]已知 U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x 是锐角}，B＝{x|x 是钝角}，则∁U(A∪B)＝
________.
答案 {x|x 是直角}
3．[P44A 组 T5]已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则 A∩B 中元素的个数
为________．
答案 2
解析 集合 A 表示以(0,0)为圆心，1 为半径的单位圆，集合 B 表示直线 y＝x，圆 x2＋y2＝1
与直线 y＝x 相交于两点
2
2
， 2
2 ，－ 2
2
，－ 2
2 ，则 A∩B 中有两个元素．
题组三 易错自纠
4．已知集合 A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则 m 等于( )
A．0 或 3 B．0 或 3
C．1 或 3 D．1 或 3 或 0
答案 B
解析 A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故 B
⊆
A，所以 m＝3 或 m＝ m，即 m＝3 或
m＝0 或 m＝1，其中 m＝1 不符合题意，所以 m＝0 或 m＝3，故选 B.
5．已知集合 A＝{x|x2 －2x－3≤0}，B＝{x|x
3.
6．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝________.
答案 0 或9
8
解析 若 a＝0，则 A＝
2
3 ，符合题意；
若 a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得 a＝9
8.
综上，a 的值为 0 或9
8.
题型一 集合的含义
1．设集合 A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数 a＝________.
答案 1
解析 ∵3∈B，又 a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.
经检验，a＝1 符合题意．
2．若 A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合 B 中的元素个数是( )
A．2B．3C．4D．5
答案 B
解析 B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条
件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用
于解决集合问题．
题型二 集合的基本关系
典例(1)设 A，B 是全集 I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足 A⊆B 的集合 B 的个数是( )
A．5B．4C．3D．2
答案 B
解析 ∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，
∴满足条件的集合 B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共 4 个．
(2)已知集合 A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x1} D．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．
又 A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，
A∪B＝{x|x<1}．
(2)(2018 届珠海二中月考)已知集合 A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－ 52 或 x<0}，∴A∪B＝R.
命题点 2 利用集合的运算求参数
典例(1)设集合 A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x2
C．a≥－1 D．a>－1
答案 D
解析 因为 A∩B≠∅，所以集合 A，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知 a>－1.
(2)集合 A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若 A∪B＝{0,1,2,4,16}，则 a 的值为( )
A．0B．1C．2D．4
答案 D
解析 由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
(3)设集合 A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若 A∩B＝B，则实数 a 的
取值范围是______．
答案 (－∞，－1]∪{1}
解析 因为 A＝{0，－4}，所以 B⊆A 分以下三种情况：
①当 B＝A 时，B＝{0，－4}，由此可知，0 和－4 是方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两个根，
由根与系数的关系，得
Δ＝4a＋12－4a2－1>0，
－2a＋1＝－4，
a2－1＝0，
解得 a＝1；
②当 B≠∅且 B A 时，B＝{0}或 B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得 a＝－1，此时 B＝{0}满足题意；
③当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得 a<－1.
综上所述，所求实数 a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．
思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用 Venn 图表示；集合中的元素若是
连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C
等于( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
答案 B
解析 A∪B＝{1,2,4,6}．
又 C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
(2)已知集合 A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－10}，B＝{x|x<3}，则 A∩B 等于( )
A．∅ B．{1,2}
C．[0,3) D．{0,1,2}
答案 D
解析 由 A 中不等式变形，得(x－5)(x＋1)<0，x∈N，解得－10}，若 A⊆B，则实数 c 的取值范围
是________．
答案 [1，＋∞)
解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由
A⊆B，画出数轴，如图所示，得 c≥1.
13．(2017·安徽黄山二模)已知集合 A＝{－2，－1,0,1,2}，∁RB＝ x|x－1
x＋2
≥0 ，则 A∩B 等
于( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{0,1,2}
答案 C
解析 ∵集合 A＝{－2，－1,0,1,2}，
∁RB＝ x|x－1
x＋2
≥0 ＝{x|x<－2 或 x≥1}，
∴B＝{x|－2≤x<1}，则 A∩B＝{－2，－1,0}．
14．已知集合 A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合 B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且 A∩B＝(－1，n)，
则 m＝______，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5
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