【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中最值问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中最值问题学案

一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．‎ 立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。‎ 二．解题策略 类型一 距离最值问题 ‎【例1】如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的最小值为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D 又，所以 ‎.显然且.所以.‎ 因为，所以.所以当， 取得最小值12.所以的最小值为.‎ 故选D.‎ ‎【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设长度为及点P的坐标，求的坐标，根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式，利用函数求其最值。学科&网 举一反三 ‎1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。‎ ‎【答案】 ‎ ‎∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，∴点P必在线段MN上。‎ 在Rt△A1B1M中， ，‎ 同理在Rt△A1B1N中，可求得，∴△A1MN为等腰三角形，‎ 当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M或N处时A1P最长，‎ 又.‎ 所以线段A1P长度的取值范围是．学科&网 ‎2、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D是坐标原点,有一棱长为a的正方体,E和F分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（ ）‎ A. B. C. a D. ‎ ‎【答案】B ‎ 3、如右图所示，在棱长为2的正方体中， 为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为_______． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将面与面折成一个平面，设E关于的对称点为M，E关于 对称点为N,则周长的最小值为.学科&网 类型二 面积的最值问题 ‎【例2】已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 关注.‎ 举一反三 ‎1、在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1，AB=2，PA=3，过AB作截面交PC于D，则截面ABD的最小面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，当时 ，截面ABD的面积最小，此时应有 。故选C。学科&网 ‎2、如图，在正四棱柱中，，点是平面 内的一个动点，则三棱锥的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）‎ 俯视图 侧视图 正视图 A．1 B．2 C ． D．‎ ‎【答案】B ‎ 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2；故选B．‎ ‎3、正三棱锥V-ABC的底面边长为，E,F,G,H分别是VA,VB,BC,AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】不妨设侧棱长尾2b ,则即．由已知条件得，四边形EFGH的面积,故选B。学科&网 类型三 体积的最值问题 ‎ 【例3】如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的.‎ 举一反三 ‎1、已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2、如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且，，在平面上有一个动点，使得，则体积的最大值是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】.和均为直角三角形．∽..学科&网 过作,垂足为.则.令,.‎ 则,即,.‎ 底面四边形为直角梯形面积为.学科&网 ‎.故C正确.‎ ‎3、(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A.4π B. C.6π D. ‎【答案】 B ‎ 类型四 角的最值问题 ‎ 【例4】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以.，令，则，当时取等号.所以 ‎，当时，取得最大值.‎ ‎【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解。解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的。几何问题还可结合图形分析何时取得最大值。当点M在点P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当点M向左移动时，.EM与AF所成角逐渐变小，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大。‎ 举一反三[来源:学科网ZXXK]‎ ‎1、矩形ABCD中，，，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 2、在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ 3、在正四面体中，点是棱的中点，点是线段上一动点，且，设异面直线与所成角为，当时，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设P到平面ABC的射影为点O,取BC中点D,‎ 以O为原点，在平面ABC中，以过O作DB的平行线为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，‎ 设正四面体P−ABC的棱长为，[来源:学#科#网]‎ 则，‎ 由,得，∴，‎ ‎∵异面直线NM与AC所成角为α, ，∴，设，则∴，‎ ‎∵，∴.∴cosα的取值范围是.‎ 三．强化训练 ‎1、正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 2．如图，在矩形中， ,点为的中点， 为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使得平面平面设直线与平面所成角为，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图：在矩形中，过点作的垂线交于点，‎ 交于点设，‎ ‎ ‎ ‎3、如下图，正方体中， 是的中点， 是侧面上的动 点，且//平面，则与平面所成角的正切值的最小值是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设G,H,I分别为CD、CC1、C1D1的中点，则，故四点共面，且平面∥平面B1HI，‎ 又B1F∥面A1BE，∴F在线段HI上，‎ 又平面，∴即为直线与平面所成的角，从而，‎ 故当最大时， 的正切值最小。由题意知，当F与H或I重合时， 最大， ‎ ‎。‎ 故B1F与平面CDD1C1所成角的正切值有最小值2。‎ ‎4、【2014四川，理8】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设正方体的棱长为，则，所以，.‎ 又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.‎ ‎5、已知三棱锥的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足，，，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎ 6、体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则， 体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上， ，得，由，得或（舍去），，由题意知点为线段的中点，从而在中， ，解得， 当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积最小值为，故答案为.‎ ‎7、(数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试第15题) 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计） ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为R, ，所以该球形容器的表面积的最小值为 。‎ ‎8、【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，‎ ‎，，，则的最大值是（）‎ ‎（A）4π （B） （C）6π （D）‎ ‎【答案】B 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．‎ ‎9、【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎10、【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 过作直线的垂线，垂足为.设，则，‎ 即，解得.‎ 而的面积.‎ 当平面PBD⊥平面BDC时：‎ 四面体的体积.‎ 观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体 的体积最大，为 ‎ ‎11、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（ ）‎ A. 14 B. 56 C. D. 63‎ ‎【答案】C ‎ 12、（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 13、如图，在三棱锥中，平面平面， 与均为等腰直角三角形，且， ．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. [来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎【答案】B ‎ 14、如图所示，在直三棱柱中，,分别为的中点，为线段上一点，设，给出下面几个命题：‎ ‎①的周长是单调函数，当且仅当时，的周长最大；‎ ‎②的面积满足等式，当且仅当时，的面积最小；‎ ‎③三梭锥的体积为定值.‎ 其中正确的命题个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3[来源:学_科_网]‎ ‎【答案】C