2017-2018学年福建省龙海市第二中学高二上学期第二次月考数学（理）试题

2017-2018学年福建省龙海市第二中学高二上学期第二次月考数学（理）试题

龙海二中2017-2018学年上学期第二次月考 高二数学（理）试卷 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ ‎★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。‎ 一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．对总数为的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为，则 的值为（ ）‎ A．100 B．120 C．150 D．200‎ ‎2．已知抛物线的准线方程为( )‎ ‎ A． B． C． 　 D． ‎ ‎3．下列四个命题中，真命题是( )‎ A. 若，则； B. “正方形是矩形”的否命题；‎ C. “若，则”的逆命题； D. “若，则，且”的逆否命题.‎ ‎4．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在2000名学生中随机抽取250名，并统计这250名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图所示)．根据频率分布直方图推测，推测这2000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是（　　）‎ A．50 B．250 C．400 D．600‎ ‎5．如图给出计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　 )‎ A． ‎ i＞25 B． i＜25 ‎ C． i＞26 D． i＜26‎ ‎（4题）图 ‎（5题）图 ‎6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次 英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数 为15，乙组数据的平均数为17，则x，y的值分别为(　 )‎ ‎（6题）图 A．2, 5      B．5, 8 C．5, 9      D．8, 9‎ ‎7．已知椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线的夹角为直角，则=(　　)‎ ‎　　　　A．１６　　　　　B．１８　　　　　C．２４　　　　　D．３６‎ ‎8．已知命题p：函数的最小正周期为2π；命题q：函数的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．()∧() C．p∨q D．p∨()‎ ‎9. 已知,为两个非零向量，则“与共线”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为(　 )‎ A．2或 B．2或 C. D．2‎ ‎11．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上，且，则点的横坐标为（ ）‎ A． B．2 C. D．4‎ ‎12．如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，，，为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则=（　 ）‎ A．25 B．9+ C．16 D．‎ ‎（12题）图 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．设双曲线的一个焦点为（0，3），则的值为 ‎ ‎14．已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是__________．‎ ‎15．在区间上随机取一个实数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为 。‎ ‎16. 已知是椭圆与双曲线共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直 线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为 ‎ 三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知命题：方程表示双曲线，命题：关于x的方程对于一切恒成立，‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 龙海二中高二(1)班有男同学10名，女同学30名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．‎ ‎(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；‎ ‎(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名男同学的概率；‎ ‎(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 双曲线的中心在原点，渐近线方程为 ，且过点.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎ (2)设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n.证明是定值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 过点Q(2,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分．‎ ‎(1)求AB所在直线方程；‎ ‎(2)求|AB|的长．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数与答题正确率﹪的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎11‎ ‎24‎ ‎35‎ ‎50‎ ‎（1）求关于的线性回归方程，并预测答题正确率是100﹪的强化训练次数；‎ ‎（2）若用表示统计数据的“强化均值”（精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效?‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎＝， ＝－; 样本数据的标准差为： ‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的离心率为，且过点（，）．‎ ‎ (1) 求椭圆的方程； ‎ ‎ (2) 若过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值；‎ ‎(3) 在（2）的条件下，求面积的最大值．‎ 龙海二中2017-2018学年上学期第二次月考 高二数学（理）试卷参考答案 一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D A C A C B C D B B A 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. 4‎ 三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 解：（1）因为方程表示双曲线，所以 3分 ‎ 解得 5分 当真假时，，则…………………………8分 当假真时，，则………………9分 综上所述，实数的取值范围是………………10分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 解：(1)P＝‎ 所以某同学被抽到的概率为.设该课外兴趣小组中有x名男同学，则＝，‎ 所以x＝1，‎ 所以男、女同学的人数分别为1,3. ………..…….3分 ‎(2)把3名女同学和1名男同学分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共12种情况，其中恰有一名男同学的有6种情况，所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P1＝＝. ………..…….7分 ‎(3)因为1＝＝71， 2＝＝71，‎ s＝＝3.2，‎ s＝＝4， ‎ 所以1＝2，s＜s，故第一名同学的实验更稳定． ………..…….12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（1）设所求的双曲线方程是 ……………………3分 ‎ 因为双曲线过点，所以求得……………………5分 ‎ 所以所求的双曲线方程是…………………………6分 ‎ （说明：其他方法求解也照样给分）‎ ‎（2）设P，已知渐近线的方程为：‎ 该点到一条渐近线的距离为：………………………8分 到另一条渐近线的距离为…………………………10分 所以是定值.…………………………12分 ‎20、（本小题满分12分）‎ 解：19.解　(1)方法一：设以Q为中点的弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y＝8x1，①y＝8x2，②x1＋x2＝8，③y1＋y2＝2，④k＝.⑤‎ 将③，④代入①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．‎ ‎∴y1－y2＝4(x1－x2)，∴4＝.∴k＝4.‎ ‎∴所求弦AB所在直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.……………………6分 方法二：设弦AB所在直线方程为y＝k(x－2)＋1.由消去，得.此方程的两根就是线段端点A，B两点的横坐标，由韦达定理，得，而，解得k＝4…6分 ‎∴所求弦AB所在直线方程为4x－y－7＝0.‎ ‎(2)由消去，得.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝…………………………12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（1）由所给数据计算得： ，‎ ‎ ,＝， ＝－ =-2‎ 所求回归直线方程是，由得7.97.‎ ‎ 预测答题正确率是100﹪的强化训练次数为8次；………7分 ‎（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为4，5，6，7‎ 平均数是5.5，“强化均值”的标准差是 这个班的强化训练有效。 ……………………………………………12分 ‎22. （本小题满分12分）‎ 解：（1） ……… 3分 ‎ （2） 设，，若k存在，则设直线AB：y＝kx＋m.‎ ‎ 由，得……………5分 ‎△＞0，且 …………6分 有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)‎ ‎ ＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0 ……8分 ‎ ‎ 代入，得，原点到直线AB的距离d＝. …………9分 ‎ ‎ 当AB的斜率不存在时，,可得，依然成立． ‎ ‎ 所以点O到直线的距离为定值 ……………10分 说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分 ‎（3）‎ ‎，‎ ‎………12分 当且仅当，即时等号成立. ………………13分 当斜率不存在时，经检验|AB|＜.所以≤。 ‎