2017-2018学年山西省祁县中学高二下学期4月月考数学文试题（解析版）

2017-2018学年山西省祁县中学高二下学期4月月考数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年山西省祁县中学高二下学期4月月考数学文试题（解析版）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. (1－i)2·i ＝（　）‎ A. 2－2i B. 2+2i C. －2 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：(1－i)2·i=(1－2i+i2)·i=(1－2i－1)·i=－2i·i=(－2)×(－1)=2.故选D。‎ 考点：本题考查复数代数形式的基本运算.‎ 点评：可利用完全平方公式及复数代数形式的乘法运算解决此类问题,但要注意把i2换成－1.‎ ‎2. 复数集是由实数集和虚数集构成的,而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分;虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分,则可选用( )来描述之.‎ A. 结构图 B. 流程图 C. 流程图或结构图中的任意一个 D. 流程图和结构图同时用 ‎【答案】A ‎【解析】结构图如下： 故选A．‎ ‎3. 样本点的样本中心与回归直线的关系是（ ）‎ A. 在直线附近 B. 在直线左上方 C. 在直线右下方 D. 在直线上 ‎【答案】D ‎【解析】根据样本中心点满足回归直线的方程，可得D． 故选D．‎ ‎4. 某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系 x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ）‎ A. 40 B. 20 C. 30 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵与的线性回归方程为 当时，． 当广告支出5万元时，由表格得： 故随机误差的效应（残差）为 ‎ 故选D．‎ ‎5. 下面使用类比推理，得到的结论正确的是( ）‎ A. 直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.类比推出:向量，若，则.‎ B. 同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.类比推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.‎ C. 以点为圆心,为半径的圆的方程为.类比推出:以点为球心,为半径的球面的方程为.‎ D. 实数,若方程有实数根,则.类比推出:复数,若方程有实数根,则.‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于A，时，不正确； 对于B，空间中，直线，若则 或或相交，故不正确； 对于D，方程 有实根，但不成立，故D不正确。‎ 故选C．‎ ‎【点睛】归纳推理与类比推理不一定正确，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．‎ ‎6. 下面是一段演绎推理：‎ 大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；‎ 小前提：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；‎ 结论：所以直线b∥直线a.在这个推理中(　　)‎ A. 大前提正确，结论错误 B. 大前提错误，结论错误 C. 大、小前提正确，只有结论错误 D. 小前提与结论都是错误的 ‎【答案】B ‎【解析】直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直． 故大前提错误，结论错误． 故选B．‎ ‎7. 如果曲线在点处的切线方程为,那么（ ）‎ A. B. C. D. 在处不存在 ‎【答案】A ‎【解析】由切线的斜率： ,‎ 可得． 故选A ．‎ ‎8. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据导函数图象可知，函数在 上单调增，在 上单调减，由此可知函数的图象最有可能的是B 故选B ．‎ ‎【点睛】本题考查导函数与原函数图象的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题．‎ ‎9. 用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( )‎ A. 自然数都是奇数 B. 自然数至少有两个偶数或都是奇数 C. 自然数都是偶数 D. 自然数至少有两个偶数 ‎【答案】B ‎【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立， 而命题：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“自然数 a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”， 故选B． ‎ ‎10. 设,,且,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 为两个不相等的正实数， 又 ‎ 又得 ‎ 观察知，函数在上单调递增， ∴.‎ 故选A．‎ ‎11. 若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. [－2,0] B. [0,2] C. [－2,2] D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】令 则 令 ，解得 ，故此函数在 上减，在 上增， 又当 当 当 ‎ ‎∴函数的值域是 ，‎ 故选C．‎ ‎12. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题， ，当时，为 ，函数在 ‎ 上单调减，在上单调增，满足题意； 当时，∵函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在其定义域的一个子区间内有正也有负 ‎ ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 综上知，.‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13. 若复数为纯虚数，则实数____________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】∵复数为纯虚数， . 故答案为：-1‎ ‎14. 将分解成一次因式的积为___________________.‎ ‎【答案】(x+2-i)(x+2+i)‎ ‎【解析】 ‎ 故答案为.‎ ‎15. 的值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 故答案为.‎ ‎16. 观察下列数字的排列规律:，则第个数字是______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】若把012看成一组数字，则第一组有1个0，2个1，3个2，共6个数字；第二组有4个0，5个1，6个2，共15个数字；猜测第三组有7个0，8个1，9个2，共24个数字；所以， ；令 ，解得 是其最大的整数解，此时故第2007个数字是时的数字，应为2； 故答案为2．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的探究规律型问题，根据题目中的数字排列情况，探究其中的规律，利用所学的知识，作出解答．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 复数（），‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求的范围．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)-10,b>0，则；‎ ‎（2）求证： .‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用基本不等式可得 ‎ 再由 在 上增函数，从而有． （2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．‎ 试题解析：（1）证明： ∵ ∴ ‎ ‎（当且仅当时，取“”号） 即： ‎ 又 在上增函数 ‎ 所以 ‎ ‎（2）证明：要证 ‎ 只需证 ‎ 只需证： 只需证： .‎ x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y（百万元）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎20. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下列表格.记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.‎ ‎(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；‎ ‎(2)假设该公司在区获得的总年利润 (单位：百万元)与，之间的关系为 ‎，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司在区开设多少个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大？‎ 参考公式：回归直线方程为，其中，.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2) 故该公司应在区开设个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大.‎ ‎【解析】试题分析：（1）结合所给数据首先求得样本中心点，然后结合回归方程的计算公式求得，，据此即可求得关于的线性回归方程；（2）结合（1）中的结果求得区利润函数，然后结合基本不等式，即可求得所需开设分店的个数．‎ 试题解析：(1)由表中数据和参考数据得：，，，.‎ ‎∴关于的线性回归方程为.‎ ‎(2)，‎ 区平均每个分店的年利润，‎ ‎∴时，取得最大值.‎ 故该公司应在区开设个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大.‎ ‎21. 进入高二，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了。学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼。某中学高二某班有学生50人。现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图。其中数据的分组区间为：‎ 现全班学生中有40％是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时。若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：‎ ‎（1）根据以上数据建立一个的列联表；‎ ‎（2）有没有90％的把握说明，经常锻炼是否与性别有关？‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)见解析.(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由已知可知，不超过4小时的人数为：50×0.05×2=5人，其中女生有3人，所以男生有2人，因此经常锻炼的女生有50×40％-3=17人，男生有30-2=28人，由此可得2×2列联表；‎ ‎（2）计算，可以得到没有90％的把握说明，经常锻炼与否与性别有关.‎ 试题解析：(1)由已知可知，不超过4小时的人数为：50×0.05×2=5人，其中女生有3人，所以男生有2人，因此经常锻炼的女生有50×40％-3=17人，男生有30-2=28人 所以2×2列联表为：‎ 男生 女生 小计 经常锻炼 ‎28‎ ‎17‎ ‎45‎ 不经常锻炼 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 小计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50 ‎ ‎(2)‎ 所以没有90％的把握说明，经常锻炼与否与性别有关.‎ ‎22. 已知函数 ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）对于任意，且，是否存在实数使得 恒为正数？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)0;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的定义域、导数，由导数的符号可知函数单调性，根据单调性即可得到最大值； （2）恒成立，只需，设，又 则只需 在 上单调递减．从而有 0在上恒成立，分离出参数 后化为函数最值即可，利用导数可求得函数的最值 试题解析：(1)由题设知：， ‎ 当时，当时；‎ ‎∴在上为增函数，在上为减函数； ‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅱ）由题设知：恒成立，‎ 即恒成立，设，‎ 则有恒成立，‎ 即在为减函数； ‎ ‎∴在恒成立，‎ ‎∴在恒成立， ‎ 设，得 ‎∴当时，当时；‎ ‎∴在上为减函数，在上为增函数；‎ 得 ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】该题考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎