湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学（文）试题 Word版含解析

湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）‎ 文科数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，设集合，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合C，再根据集合与集合的关系判断即可．‎ ‎【详解】由题设，，则，故 选.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．‎ ‎2.若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由纯虚数的定义可得m＝0，故，化简可得．‎ ‎【详解】复数z＝m（m+1）+（m+1）i是纯虚数，故m（m+1）＝0且（m+1）≠0，‎ 解得m＝0，故z＝i，故i．‎ 故选：B．‎ 点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．‎ ‎3.设命题 (其中为常数)，则“”是“命题 - 21 -‎ 为真命题”（ ）‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题p：x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数），由△＝16﹣8m≤0，解得m范围即可判断出结论．‎ ‎【详解】若命题为真，则对任意，恒成立，所以，即.因为，则“”是“命题为真”的必要不充分条件，‎ 选.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.‎ ‎【详解】因为，由诱导公式得，所以 .‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.‎ ‎5.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）‎ - 21 -‎ A. 100000元 B. 95000元 C. 90000元 D. 85000元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入．‎ ‎【详解】由已知得，2017年的就医费用为元，‎ 年的就医费用为元，‎ 该教师2018年的家庭总收入元．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6.已知是公差为的等差数列，为的前项和.若，，成等比数列，则（ ）‎ A. B. 35 C. D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,‎ ‎【详解】因为，，成等比数列，所以 - 21 -‎ ‎，‎ 因此,选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎7.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断奇偶性,再利用单调性进行判断，‎ ‎【详解】由题是偶函数，其定义域是，且在上是增函数，‎ 选.‎ ‎【点睛】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；‎ ‎8.在长为的线段上任取一点，作一矩形，邻边长分別等于线段、的长，则该矩形面积小于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 根据几何概型的概率公式，设AC＝x，则BC＝10﹣x，由矩形的面积S＝x（10﹣x）＜16可求x的范围，利用几何概率的求解公式求解．‎ ‎【详解】设线段的长为，则线段长为，‎ 那么矩形面积为，或，又，‎ 所以该矩形面积小于的概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．‎ ‎9.已知向量，满足，且，则当变化时，的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量数量积得即可求解 ‎【详解】由已知，，则，‎ 因为，则，‎ 选.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题 ‎10.设点，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，则的面积是（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 据题意，，且，解得.‎ 又，在中由余弦定理，得.‎ 从而，所以 ‎11.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（ ）‎ A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，在中，,,则 ‎；由正弦定理得，得,即B、C两点间的距离是10n mile．‎ 考点：解三角形．‎ - 21 -‎ ‎12.已知与函数关于点(，0)对称，与函数关于直线对称，若对任意，存在使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求f（x）和g(x)的解析式，设求其最大值-1，原题等价于存在使得，分离参数a,构造函数求其最值即可求解 详解】依题意得：，，‎ 设，，，‎ 所以在单调递增，所以，‎ 故原题等价于存在使得，‎ ‎，，故只需，‎ 而在上单调递减，‎ 而，所以，‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性及解析式求法，考查不等式恒成立及有解问题，考查转化化归能力，是中档题 - 21 -‎ 二、填空题（将答案填在答题纸上）.‎ ‎13.已知函数的图像在点处的切线过点，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a的值．‎ ‎【详解】，，‎ 又因为，切点是，‎ 切线方程是：，.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎14.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.‎ 考点：1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.‎ ‎15.若函数的图象经过点 - 21 -‎ ‎，且相邻两条对称轴间的距离为.则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f（x）的图象与性质求出T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，求出f（）的值．‎ ‎【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，所以，，‎ 所以，因为函数图象经过点，所以，‎ ‎，，所以，所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题．‎ ‎16.已知正四面体中，是棱的中点，是点在平面上的射影，则异面直线与所成角的余弦值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点在平面上的射影为，得、、三点共线，且是的中点，得异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.在中求解即可 ‎【详解】设点在平面上的射影为，则、、三点共线，且是的中点，‎ 则异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.‎ 设正四面体的棱长为2，则，，，‎ - 21 -‎ 所以中，.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.设数列的前项和为，已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；‎ ‎（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．‎ 详解：（1）∵ ①‎ 当时，，∴‎ 当时， ②‎ 由①-②得：‎ ‎∴‎ ‎∴是以为首项，公比为的等比数列 ‎∴‎ - 21 -‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．‎ ‎18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：‎ 个人所得税税率表（调整前）‎ 个人所得税税率表（调整后）‎ 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ ‎1‎ 不超过1500元的部分 ‎3‎ ‎1‎ 不超过3000元的部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记表示总收人，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；‎ - 21 -‎ ‎（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ 收入（元）‎ 人数 ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ 先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；‎ ‎（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？‎ ‎【答案】（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为 ‎（2）‎ ‎（3）220元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对收入的范围分类，求出对应的表达式即可。‎ ‎（2）列出7人中抽取2人共21种情况，找出不在同一收入人群的有12种结果，问题得解。‎ ‎（3）计算出小红按调整起征点前应纳个税为元，小红按调整起征点后应纳个税为元，问题得解。‎ ‎【详解】解：（1）调整前关于的表达式为，‎ 调整后关于的表达式为.‎ - 21 -‎ ‎（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，其中中占3人，分别记为，中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共21种情况，‎ 其中不在同一收入人群的有：，，，，，，，，，，，，共12种，所以所求概率为.‎ ‎（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，‎ 按调整起征点前应纳个税为元；‎ 按调整起征点后应纳个税为元，‎ 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元，‎ 即个人的实际收入增加了220元，‎ 所以小红的实际收入增加了220元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算，以及分段函数模型应用，考查转化能力及计算能力，属于基础题。‎ ‎19.在梯形中(图1)，，，，过、分别作的垂线，垂足分别为、，且，将梯形沿、同侧折起，使得，且，得空间几何体 (图2).直线与平面所成角的正切值是.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接BE交AF于O，取AC的中点H，连接OH，可得OH∥CF，OH，再由已知DE∥CF，DE，可得四边形OEDH为平行四边形，则DH∥OE．由线面平行的判定可得EO∥面ACD，即BE∥面ACD；（2）证明平面，平面，利用求解即可 ‎【详解】（1）连接交于点，取的中点，连接，，‎ 因为四边形为矩形，则是的中位线，‎ 所以且，‎ 由已知得且，‎ 所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ 即平面；‎ ‎（2）由已知，，，‎ 可得平面，‎ 又平面，所以平面平面，‎ 又，所以平面，‎ 设，，，‎ 因为直线与平面所成角的正切值是，‎ 所以，解得：，‎ ‎，，‎ - 21 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．‎ ‎20.已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与轨迹交于两点，、，且 (，且为常数)，过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点，连接、.试判断的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，得，向量坐标化得；（2）联立方程组消去，由得，由的中点，得点， ，结合即可证明定值 ‎【详解】（1）设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，即，‎ 所以动点的轨迹的方程.‎ ‎（2）联立方程组消去，得，‎ - 21 -‎ 依题意，，且，，‎ 由得，‎ 即，‎ 整理得：，所以，①‎ 因为的中点，所以点，依题意，‎ ‎，‎ 由方程中的判别式，得，所以，‎ 由①知，‎ 所以，又为常数，故的面积为定值.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，定值问题，考察方程思想和转化化归能力，是中档题 ‎21.已知函数，其中为实常数.‎ ‎（1）若当时，在区间上的最大值为，求的值；‎ ‎（2）对任意不同两点，，设直线的斜率为，若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论与0，1，e的大小关系确定最值得a - 21 -‎ 的方程即可求解；（2）原不等式化为，不妨设，整理得，设，当时，，得，分离，求其最值即可求解a的范围 详解】（1），令，则.‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎①当，即时，在区间上单调递减，则，‎ 由已知，，即，符合题意.‎ ‎②当时，即时，在区间上单调递增，在上单调递减，‎ 则，由已知，，即，不符合题意，舍去.‎ ‎③当，即时，在区间上单调递增，则，‎ 由已知，，即，不符合题意，舍去.‎ 综上分析，.‎ ‎（2）由题意，，则原不等式化为，‎ 不妨设，则，即，‎ 即.‎ 设，则，‎ 由已知，当时，不等式恒成立，则在上是增函数.‎ 所以当时，，即，即恒成立，‎ - 21 -‎ 因为，当且仅当，即时取等号，所以.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性，不等式恒成立问题，构造函数与分离变量求最值，分类讨论思想，转化化归能力，是中档题 ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为，（ 为参数）.直线与曲线分别交于、两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的直角坐标为，，求的值.‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为.(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由极坐标与普通方程互化，参数方程与普通方程互化直接求解即可；（2）将直线的参数方程代入，由韦达定理结合t的几何意义即可求解 ‎【详解】（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，即，‎ 由直线的参数方程得直线的普通方程为.‎ - 21 -‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，‎ 化简并整理，得.‎ 因为直线与曲线分别交于、两点，所以，‎ 解得，由一元二次方程根与系数的关系，得 ‎，，‎ 又因为，所以.‎ 因为点的直角坐标为，且在直线上，‎ 所以，‎ 解得，此时满足，故.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与普通方程互化，参数方程与普通方程互化，直线参数方程，t的几何意义，准确计算是关键，是基础题 ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）设不等式的解集为、，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分段去绝对值求解即可；‎ ‎（2）不等式的解集包含，所以不等式在恒成立，可得 - 21 -‎ ‎，即，所以，求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，原不等式可化为.‎ ‎①当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.②‎ 当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.③当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.综上所述，当时，不等式可化为，的解集为或.‎ ‎（2）不等式，因为不等式的解集包含，所以不等式在，所以不等式，所以可得，即，所以，解得，求实数的取值范围是.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎