【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第七章第三节空间点、线、面之间的位置关系学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第七章第三节空间点、线、面之间的位置关系学案

第三节空间点、线、面之间的位置关系 ‎1．平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ ‎(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎2．空间中两直线的位置关系 ‎(1)空间中两直线的位置关系 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．‎ ‎(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)‎ ‎(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．下列说法正确的是(　　)‎ A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面 答案：D ‎3．以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；‎ ‎③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ A．0　　　　　　　　　 　B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选B　①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.‎ ‎4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)‎ A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 解析：选D　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．‎ ‎5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)‎ A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α 解析：选D　b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．‎ ‎6．(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．‎ ‎①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.‎ 答案：③④‎ 　　　　 平面的基本性质主要包括3个公理及其推论，是空间位置关系的基础，很少单独命题.‎ ‎[典题领悟]‎ 如图所示，在空间四边形ABCD中，‎ E，F分别是AB，AD的中点，G，H分 ‎❶‎ 别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：‎ ‎❷‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎❸‎ ‎(2)直线FH，EG，AC共点.‎ ‎　❹‎ ‎[学审题]‎ ‎①看到E，F分别是AB，AD的中点?想到三角形的中位线；‎ ‎②看到CG＝BC，CH＝DC?想到G，H分别是BC，CD的三等分点?想到GH∥BD；‎ ‎③看到E，F，G，H四点共面?想到点所在直线平行或相交；‎ ‎④要证三线FH，EG，AC共点?想到证两线的交点在第三条直线上．‎ 证明：(1)连接EF，GH，‎ ‎∵E，F分别是AB，AD的中点，‎ ‎∴EF∥BD.‎ 又∵CG＝BC，CH＝DC，‎ ‎∴GH∥BD，∴EF∥GH，‎ ‎∴E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，‎ ‎∴设FH∩AC＝M，‎ ‎∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.‎ 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，‎ ‎∴M∈EG，‎ ‎∴直线FH，EG，AC共点．‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．证明点共线问题的常用方法 公理法 先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上 同一法 选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 ‎2．证明线共点问题的常用方法 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．‎ ‎3．证明点、直线共面问题的常用方法 纳入平面法 先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合 ‎[冲关演练]‎ ‎1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)‎ 解析：选D　A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．‎ ‎2.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．‎ 证明：因为AB∥CD，‎ 所以AB，CD确定一个平面β.‎ 又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，‎ 即E为平面α与β的一个公共点．‎ 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，‎ 因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．‎ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 空间两直线位置关系的判断是高考的常考内容，主要涉及两直线平行、垂直、异面等相关知识，题型为选择题或解答题中的第(1)问，难度偏小.‎ ‎1．下列结论中正确的是(　　)‎ ‎①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；‎ ‎②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；‎ ‎③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；‎ ‎④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.‎ A．①②③　　　　　　　　 　B．②④‎ C．③④ D．②③‎ 解析：选B　①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.‎ ‎2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是_______．(填序号)‎ 解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．‎ 答案：②④‎ ‎3.如图，在正方体ABCD A1B‎1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C‎1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确结论的序号为________．‎ 解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB‎1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．‎ 答案：③④‎ ‎[怎样快解·准解]‎ ‎[注意]　异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．(如第1题中的命题①是错误的)‎ 　　　　 高考对异面直线所成角的求解问题主要考查能作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两条直线的夹角.一般以选择题、填空题出现，属于中低档题.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 　B. C. D. ‎[思维路径]‎ 要求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值，需通过平移作出该异面直线的角，由于异面直线AB1与BC1所在的几何体为直三棱柱，直接平移比较困难，考虑到平行六面体的对面互相平行，平移直线比较方便，故可将该几何体补形为直四棱柱求解．‎ 解析：选C　如图所示，将直三棱柱ABCA1B‎1C1补成直四棱柱ABCDA1B‎1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.‎ 在△B1D‎1C1中，∠B‎1C1D1＝60°，B‎1C1＝1，D‎1C1＝2，‎ 所以B1D1＝＝，‎ 所以cos∠B1AD1＝＝.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．求异面直线所成角的一般步骤 ‎(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条得到相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点；‎ ‎(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角；‎ ‎(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；‎ ‎(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．‎ ‎2．掌握3种平移技巧 求异面直线所成的角的方法为平移法，平移的方法一般有3种类型：‎ ‎(1)利用图形中已有的平行线平移；‎ ‎(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；‎ ‎(3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．(如典题领悟)‎ ‎[冲关演练]‎ 如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，‎ ‎(1)求AC与A1D所成角的大小；‎ ‎(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A‎1C1与EF所成角的大小．‎ 解：(1)如图所示，连接B‎1C，AB1，由ABCDA1B‎1C1D1是正方体，易知A1D∥B‎1C，从而B‎1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．‎ ‎∵AB1＝AC＝B‎1C，‎ ‎∴∠B1CA＝60°.‎ 即A1D与AC所成的角为60°.‎ ‎(2)连接BD，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，‎ AC⊥BD，AC∥A‎1C1，‎ ‎∵E，F分别为AB，AD的中点，‎ ‎∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A‎1C1.‎ 即A‎1C1与EF所成的角为90°.‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．a，b是两条异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β.若α∩β＝c，则直线c必定(　　)‎ A．与a，b均相交　　　　　 　B．与a，b都不相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．至多与a，b中的一条相交 解析：选C　假设直线c与直线a，b都不相交，则直线c与直线a，b都平行．根据公理4，直线a，b平行，与已知条件中的a，b是两条异面直线矛盾，所以直线c至少与a，b中的一条相交．故选C.‎ ‎2．在空间中，有如下四个命题：‎ ‎①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；‎ ‎②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；‎ ‎③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；‎ ‎④过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直．‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A．①③ B．②④‎ C．①④ D．②③‎ 解析：选B　①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，不正确；②由面面平行的判定定理知正确；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确．故选B.‎ ‎3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 解析：选D　构造如图所示的正方体ABCDA1B‎1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B‎1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.‎ ‎4．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：选A　由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，‎ 从而四边形A1BCD1是平行四边形，‎ 所以A1B∥CD1，‎ 又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D‎1C＝F，‎ 则A1B与EF相交．‎ ‎5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线 AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．‎ ‎6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(　　)‎ A．1 B．4‎ C．7 D．8‎ 解析：选C　当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥．①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；‎ ‎②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个，故选C.‎ ‎7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．‎ 解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．‎ 答案：1或4‎ ‎8.如图，平行六面体ABCD A1B‎1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．‎ 解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．‎ 答案：5‎ ‎9.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是______(填序号)．‎ ‎①EF与GH平行；‎ ‎②EF与GH异面；‎ ‎③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；‎ ‎④EF与GH的交点M一定在直线AC上．‎ 解析：连接EH，FG，如图所示．‎ 依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，‎ 故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．‎ 因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，‎ 所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，‎ 设交点为M.因为点M在EF上，‎ 故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，‎ ‎∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，‎ 又AC是这两个平面的交线，‎ 所以点M一定在直线AC上．‎ 答案：④‎ ‎10．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．‎ 解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．‎ 答案：3‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1.如图，ABCD A1B‎1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：选A　连接A‎1C1，AC，则A‎1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A‎1C⊂平面ACC‎1A1，因为M∈A‎1C，所以M∈平面ACC‎1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC‎1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC‎1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．‎ ‎2．平面α过正方体ABCDA1B‎1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB‎1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCDA2B‎2C2D2，则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2，即平面α就是平面AB2D2，平面AB2D2∩平面ABB‎1A1＝AB2，即直线n就是直线AB2，由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，∠AB2D2＝60°，故其正弦值为.‎ ‎3．过正方体ABCD A1B‎1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选D　如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A‎1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A‎1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．‎ ‎4.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是________．‎ 解析：如图所示，连接DN，‎ 取线段DN的中点K，连接MK，CK.‎ ‎∵M为AD的中点，∴MK∥AN，‎ ‎∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角．‎ ‎∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，‎ 由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.‎ 在Rt△CKN中，CK＝ ＝.‎ 在△CKM中，由余弦定理，‎ 得cos∠KMC＝＝，‎ 所以异面直线AN，CM所成角的余弦值是.‎ 答案： ‎5.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ 解析：对于①，α，β可能平行，也可能相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．‎ 答案：②③‎ ‎6.如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，M，N分别是A1B1，B‎1C1的中点．问：‎ ‎(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由．‎ 解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：‎ 如图，连接MN，A‎1C1，AC.‎ 因为M，N分别是A1B1，B‎1C1的中点，‎ 所以MN∥A‎1C1.‎ 又因为A‎1A綊C‎1C，‎ 所以四边形A1ACC1为平行四边形，‎ 所以A‎1C1∥AC，‎ 所以MN∥AC，‎ 所以A，M，N，C在同一平面内，‎ 故AM和CN不是异面直线．‎ ‎(2)D1B与CC1是异面直线．‎ 理由如下：‎ 因为ABCDA1B‎1C1D1是正方体，‎ 所以B，C，C1，D1不共面．‎ 假设D1B与CC1不是异面直线，‎ 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，‎ 所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．‎ 所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．‎ ‎7.如图所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥P ABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，‎ 故三棱锥P ABC的体积为 V＝·S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE，‎ 则DE∥BC，‎ 所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．‎ 在△ADE中，DE＝BC＝＝2，‎ AE＝＝，‎ AD＝＝2，‎ 则cos∠ADE＝＝＝.‎ 即异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1．如图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是BC的中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝，在直角三角形DAO中可以求得DO＝.在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝＝，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为.‎ ‎2.如图所示，在三棱柱ABC A1B‎1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A‎1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.‎ ‎(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?‎ ‎(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．‎ 解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A‎1A⊥底面ABC，‎ 所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.‎ 又因为EC＝2FB＝2，‎ 所以OM∥EC∥FB且OM＝EC＝FB，‎ 所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.‎ 因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，‎ 故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．‎ 法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，‎ BQ.‎ 因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，‎ 所以PQ∥AE，PB∥EF，‎ 所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，‎ 因为PB∩PQ＝P，PB⊂平面PBQ，PQ ⊂平面PBQ，‎ 所以平面PBQ∥平面AEF.‎ 又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.‎ 故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．‎ ‎(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．‎ 易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，‎ 所以cos∠OFE＝＝＝，‎ 所以BM与EF所成的角的余弦值为.‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1．下列命题中，真命题的个数为(　　)‎ ‎①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；‎ ‎②两条直线可以确定一个平面；‎ ‎③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；‎ ‎④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.‎ A．1　　　　　　　　　　 　B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B　根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.‎ ‎2．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 解析：选B　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．‎ ‎3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 解析：选D　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.‎ ‎4．在正方体ABCD A1B‎1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B‎1C1，C1D1的中点，则正方体过点P，Q，E，F的截面图形的形状是(　　)‎ A．正方形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 解析：选D　如图所示，由EF∥PQ，可以确定一个平面．‎ 设这个平面与正方体ABCD A1B‎1C1D1的棱BB1，DD1分别交于M，N.‎ 由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，且EF＝FN＝NQ＝QP＝PM＝ME，所以正方体过点P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形．‎ ‎5.如图，ABCD A1B‎1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：选A　连接A‎1C1，AC，则A‎1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A‎1C⊂平面ACC‎1A1，因为M∈A‎1C，所以M∈平面ACC‎1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC‎1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC‎1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．‎ ‎6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．‎ 解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．‎ 答案：3‎ ‎7．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：‎ ‎①若a∥b，b∥c，则a∥c；‎ ‎②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；‎ ‎④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．‎ 上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．‎ 解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．‎ 答案：①‎ ‎8.如图，已知圆柱的轴截面ABB‎1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．‎ 解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，‎ 因为C是圆柱下底面弧AB的中点，‎ 所以AD∥BC，‎ 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．‎ 因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，‎ 所以C1D⊥AD，‎ 因为圆柱的轴截面ABB‎1A1是正方形，所以C1D＝AD，‎ 所以直线AC1与AD所成角的正切值为，‎ 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.‎ 答案： ‎9.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ 解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，‎ 所以相交直线EF与EG所成的角，‎ 即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎10.如图所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥P ABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，‎ 故三棱锥P ABC的体积为 V＝·S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE，‎ 则DE∥BC，‎ 所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．‎ 在△ADE中，DE＝BC＝＝2，‎ AE＝＝，‎ AD＝＝2，‎ 则cos∠ADE＝＝＝.‎ 即异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1．(2018·湖北七市(州)联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是 ‎(　　)‎ A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直 解析：选B　对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m⊄α，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B.‎ ‎2．过正方体ABCD A1B‎1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选D　如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A‎1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A‎1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．‎ ‎3．如图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是BC的中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝，在直角三角形DAO中可以求得DO＝.在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝＝，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为.‎ ‎4.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是________．‎ 解析：如图所示，连接DN，‎ 取线段DN的中点K，连接MK，CK.‎ ‎∵M为AD的中点，∴MK∥AN，‎ ‎∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角．‎ ‎∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，‎ 由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.‎ 在Rt△CKN中，CK＝ ＝.‎ 在△CKM中，由余弦定理，‎ 得cos∠KMC＝＝，‎ 所以异面直线AN，CM所成角的余弦值是.‎ 答案： ‎5.如图，已知三棱柱ABCA1B‎1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．‎ ‎(1)求异面直线AA1与BC1所成角的大小；‎ ‎(2)求三棱锥C1BCA1的体积．‎ 解：(1)‎ 连接AO，并延长与BC交于点D，‎ 则D是BC边上的中点．‎ 因为点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，‎ 所以BC⊥AD，BC⊥A1O.‎ 因为AD∩A1O＝O，‎ 所以BC⊥平面ADA1.‎ 所以BC⊥AA1.‎ 又AA1∥CC1，所以BC⊥CC1，‎ 所以异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC‎1C.‎ 因为BC＝CC1＝2，‎ 所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为.‎ ‎(2)因为三棱柱的所有棱长都为2，‎ 所以可求得AD＝，AO＝AD＝，‎ A1O＝＝.‎ 因为S△ABC＝×2×＝，‎ 所以VABCA1B‎1C1＝S△ABC·A1O＝2，‎ VA1BCC1B1＝VABCA1B‎1C1－VA1ABC＝.‎ 所以VC1BCA1＝VA1BCC1＝VA1BCC1B1＝.‎ ‎6.如图所示，在三棱柱ABC A1B‎1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A‎1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.‎ ‎(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?‎ ‎(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF 所成的角的余弦值．‎ 解：(1)法一：‎ 如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A‎1A⊥底面ABC，‎ 所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.‎ 又因为EC＝2FB＝2，‎ 所以OM∥EC∥FB且OM＝EC＝FB，‎ 所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.‎ 因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，‎ 故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．‎ 法二：如图所示，‎ 取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.‎ 因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，‎ 所以PQ∥AE，PB∥EF，‎ 所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，‎ 因为PB∩PQ＝P，PB⊂平面PBQ，PQ ⊂平面PBQ，‎ 所以平面PBQ∥平面AEF.‎ 又因为BQ⊂平面PBQ，‎ 所以BQ∥平面AEF.‎ 故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．‎ ‎(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．‎ 易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，‎ 所以cos∠OFE＝＝＝，‎ 所以BM与EF所成的角的余弦值为.‎