四川省成都市棠湖中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

四川省成都市棠湖中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

四川省棠湖中学2018-2019学年度高二下学期末考试 文科数学试题 本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B再求出交集.‎ ‎【详解】，‎ ‎∴，则，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.‎ ‎2.已知复数，其中i为虚数单位，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的除法运算求得复数z，再根据模的定义即可求得复数的模。‎ ‎【详解】解：‎ ‎∴‎ 即 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的定义，可得A，B，D是偶函数，再利用函数单调性的性质，即可得出结论．‎ ‎【详解】根据偶函数的定义，可得A，B，D是偶函数，B在上单调递减，D在上有增有减，A在上单调递增，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的性质，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎4.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合关系来判断条件。‎ ‎5.函数的图象大致为　　‎ A. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2019/3/28/2170104055693312/2171120033087488/STEM/ca5862dada8745cb96eb8d07fa7cf8cd.png] B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值的符号是否一致进行排除即可．‎ ‎【详解】，函数是奇函数，图象关于原点对称，‎ ‎，排除A，B，‎ ‎，排除C，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数图象的对称性以及特殊值法是解决本题的关键．‎ ‎6.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的首项为，公差为，由及列方程组即可求解。‎ ‎【详解】设等差数列的首项为，公差为，由及得：‎ ‎，解得：‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题。‎ ‎7.已知随机变量，若，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．‎ ‎【详解】，且，‎ ‎，且，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）‎ A. 1 B. -1 C. 0 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合流程图运行程序，考查是否成立来决定输出的数值即可.‎ ‎【详解】结合流程图可知程序运行过程如下：‎ 首先初始化数据：，‎ 此时不满足，执行循环：；‎ 此时不满足，执行循环：；‎ 此时不满足，执行循环：；‎ 此时不满足，执行循环：；‎ 此时不满足，执行循环：；‎ 此时满足，输出 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.‎ ‎9.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）‎ A. 丙、丁 B. 乙、丙 C. 甲、乙 D. 甲、丁 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙或乙、丙或甲、丁或丙、丁，依次分析题设条件，能求出结果．‎ ‎【详解】假设参与此案的两名嫌疑人是丙、丁，符合题意，故A正确；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是乙、丙，‎ 则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故B错误；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是甲、乙，‎ 则由乙参与此案，得丁一定参与，不合题意，故C错误；‎ 假设参与此案的两名嫌疑人是甲、丁，‎ 则由甲参与此案，则丙一定没参与，丙没参与此案，则丁也一定没参与，不合题意，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查参与此案的两名嫌疑人的判断，考查合情推理的基础知识，是基础题．‎ ‎10.已知角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用诱导公式可求，，再由二倍角公式化简，即可得结果．‎ ‎【详解】，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎11.已知，函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距为　　‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．‎ ‎【详解】函数，可得，切线的斜率为：‎ ‎，‎ 切点坐标，切线方程l为：，‎ l在y轴上的截距为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．求切线方程的方法：‎ ‎①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；‎ ‎②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.‎ ‎12.已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（　　）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：分别利用三角形相似得到线段的比值，再利用等量关系得到关于的关系，进而求出双曲线的离心率.‎ 详解：易证得∽，则，‎ 即；‎ 同理∽，‎ ‎，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 整理得.故选A.‎ 点睛：解决本题的关键在利用两次相似三角形得到对应线段成比例，再利用公共线段和进行求解.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知向量，且，则m=__________.‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由列方程计算可得．‎ ‎【详解】因为，且，‎ ‎∴，．‎ 故答案为8．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量垂直的坐标表示．解题关键是掌握数量积的性质：非零向量，．‎ ‎14.函数的最小值为___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，当时，，‎ 故函数最小值为．‎ ‎【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．‎ ‎15.直三棱柱ABC-A1B1C1，内接于球O，且AB⊥BC，AB=3．BC=4．AA1=4，则球O的表面积______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三线垂直联想长方体，而长方体外接球直径为其体对角线长，容易得到球半径，得解．‎ ‎【详解】直三棱柱中，易知AB，BC，BB1两两垂直， 可知其为长方体的一部分， 利用长方体外接球直径为其体对角线长， 可知其直径为， ∴=41π， 故答案为：41π．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三棱柱的外接球和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.‎ ‎16.定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为___．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图分析画出与在同一个坐标系的图像，即可求解 ‎【详解】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即 故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个 故答案为5‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.设是各项均为正数的等比等列，且，．‎ Ⅰ求的通项公式；‎ Ⅱ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ首项利用已知条件求出数列的通项公式;Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步对数关系式的变换求出数列的和．‎ ‎【详解】Ⅰ设首项为，公比为q的各项均为正数的等比等列，‎ 且，．‎ 则：，‎ 解得：，负值舍去，‎ 所以：，‎ 则：．‎ ‎（Ⅱ）由于：，‎ 所以：．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数关系式的应用，等差数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎18.为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的月日为“世界读书日”.设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了名居民，经统计这人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为,将这人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；‎ ‎（2）把年龄在第组居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组，若选出的人中通过纸质阅读的中老年有人，请完成上面列联表，则是否有的把握认为阅读方式与年龄有关？‎ ‎【答案】（1），；（2）有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图求出a的值，再计算数据的平均值；‎ ‎（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可得：10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）＝1，‎ 解得a＝0.035，‎ 所以通过电子阅读的居民的平均年龄为：‎ ‎20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5；‎ ‎（2）由题意人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为, ∴纸质阅读的人数为200=50，其中中老年有人，∴纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，‎ 青少年人数为150=90，则中老年有人，‎ 得2×2列联表，‎ 电子阅读 纸质阅读 合计 青少年（人）‎ ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 中老年（人）‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 合计（人）‎ ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 计算，‎ 所以有的把握认为认为阅读方式与年龄有关．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，考查了阅读理解的能力，是基础题．‎ ‎19.在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出AM⊥AD，从而AM⊥平面ABCD，由此能证明AM⊥BD；（2）推导出CE＝ND，BC∥AD，EN∥AB，FN∥AM，从而平面ENF∥平面MAB，进而EF∥平面MAB，由VD﹣AEF＝VF﹣ADE，能求出三棱锥D﹣AEF的体积．‎ ‎【详解】（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，‎ ‎∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，‎ ‎∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴AM⊥平面ABCD，‎ 又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．‎ ‎（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，‎ ‎∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，‎ ‎∴ECND，又AB∥CD，∴EN∥AB，‎ ‎∵＝，∴FN∥AM，‎ ‎∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，‎ ‎∴EF∥平面MAB，‎ ‎∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，‎ ‎∴F到平面ABCD的距离d＝，‎ ‎∴VD﹣AEF＝VF﹣ADE＝＝1．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.已知椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程，并求其离心率；‎ ‎（2）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与交于另一点．设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为，离心率（2）直线与直线平行,理由见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将P点代入椭圆方程，可得a的值，结合离心率的公式可得离心率的值；‎ ‎（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式以及两直线的位置关系与斜率的关系可得答案.‎ ‎【详解】解：（1）由椭圆方程椭圆过点，可得．‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的方程为，离心率．‎ ‎（2）直线与直线平行．证明如下：‎ 设直线，，‎ 设点的坐标为，，‎ 由得，‎ ‎∴，∴，同理，‎ ‎∴，‎ 由，，有，‎ ‎∵在第四象限，∴，且不在直线上．∴，‎ 又，故，∴直线与直线平行．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆位置关系的应用及斜率与直线平行的关系，是中档题.‎ ‎21.已知函数f（x）＝x2﹣a2lnx（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上没有零点，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ求出，解不等式，，即可求出的单调区间；‎ Ⅱ用导数求出函数在区间上没有零点，只需在上或，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．‎ ‎【详解】Ⅰ，‎ 令，解得；‎ 令，解得，‎ 函数的单调增区间为，单调减区间为 Ⅱ要使在上没有零点，‎ 只需在上或，‎ 又，只需在区间上，．‎ 当时，在区间上单调递减，‎ 则，‎ 解得与矛盾．‎ 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ 当时，在区间上单调递增，‎ ‎，满足题意，‎ 综上所述，实数a的取值范围是：．‎ ‎【点睛】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.已知直线：（为参数），曲线（为参数）．‎ ‎（1）设与相交于，两点，求；‎ ‎（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将直线和曲线化为普通方程，联立直线和曲线，可得交点坐标，可得的值；‎ ‎（2）可得曲线的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.‎ ‎【详解】解：（1）直线的普通方程为，的普通方程．‎ 联立方程组，解得与的交点为，，则．‎ ‎（2）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，‎ 从而点到直线的距离是，‎ 由此当时，取得最小值，且最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题.‎ ‎23.已知．‎ ‎(Ⅰ)当m＝－3时，求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)设关于x的不等式的解集为M，且，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过分段讨论的方式，在三段区间上分别得到不等式，求出对应的取值范围；（2‎ ‎）根据，将转化为的形式，通过解不等式得到满足的关系式，再利用恒成立的方式得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 原不等式等价于 故有或或 解得：或或 综上，原不等式的解集 ‎（2）由题意知在上恒成立，‎ 即在上恒成立 所以 即在上恒成立 所以 即在上恒成立 由于，‎ 所以，即的取值范围是 ‎【点睛】本题考查含绝对值不等式解法以及与不等式有关的恒成立问题的处理.处理绝对值不等式的关键是能够利用自变量的范围，通过讨论的方式去掉绝对值.‎ ‎ ‎