2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（浙江卷）

2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（浙江卷）

绝密★考试结束前 ‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)‎ ‎ 数 学（理科） ‎ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。 ‎ 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。‎ 选择题部分（共50分） ‎ 注意事项： ‎ ‎ 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 ‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 ‎ 参考公式： ‎ 如果事件互斥，那么 棱柱的体积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 ‎ ‎ 棱锥的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 ‎ ‎ 棱台的体积公式 ‎ 球的表面积公式 ‎ ‎ 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积， ‎ 球的体积公式 h表示棱台的高 ‎ ‎ ‎ 其中表示球的半径 ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1．设，，，则( ) ‎ A． B． C． D． ‎ 答案：B ‎ ‎【解析】 对于，因此．‎ ‎2．已知是实数，则“且”是“且”的 ( ) ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 答案：C ‎ ‎【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的 ‎3．设（是虚数单位），则 ( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 答案：D ‎ ‎【解析】对于 ‎4．在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) www. ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 答案：B ‎ ‎【解析】对于，对于，则的项的系数是 ‎5．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ 答案：C ‎ ‎【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．‎ ‎6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ 答案：A ‎ ‎【解析】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的．‎ ‎7．设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) www. ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎ ‎【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．‎ ‎8．已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )‎ 答案：D ‎ ‎【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．‎ ‎9．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎ ‎【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有 ‎，因．‎ ‎10．对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有 ‎．下列结论中正确的是 ( )‎ A．若，，则 B．若，，且，则 C．若，，则 www. ‎ D．若，，且，则 答案：C ‎ ‎【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．‎ 非选择题部分（共100分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。‎ ‎ 2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。‎ ‎11．设等比数列的公比，前项和为，则 ．‎ 答案：15‎ ‎【解析】对于 ‎12．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．‎ 答案：18‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18‎ ‎13．若实数满足不等式组则的最小值是 ．www.te 答案：4 ‎ ‎【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，‎ ‎14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如 下：‎ 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 ‎（单位：千瓦时）‎ 高峰电价 ‎（单位：元/千瓦时）‎ 低谷月用电量 ‎（单位：千瓦时）‎ 低谷电价 ‎（单位：元/千瓦时）‎ ‎50及以下的部分 ‎0.568‎ ‎50及以下的部分 ‎0.288‎ 超过50至200的部分 ‎0.598‎ 超过50至200的部分 ‎0.318‎ 超过200的部分 ‎0.668‎ 超过200的部分 ‎0.388‎ ‎ 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，‎ 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．‎ 答案：‎ ‎【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为，二部分之和为 ‎15．观察下列等式：‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎………‎ 由以上等式推测到一个一般的结论：‎ 对于， ．www. ‎ 答案：‎ ‎【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，‎ ‎16．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．‎ 答案：336 ‎ ‎【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．www. ‎ ‎17．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点 作，为垂足．设，则的取值范围是 ．‎ 答案： ‎ ‎ 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 www.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎20090423‎ ‎18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，‎ ‎ ． （I）求的面积； （II）若，求的值．‎ 解析：（I）因为，，又由，得， www. ‎ ‎（II）对于，又，或，由余弦定理得， www.t ‎20090423‎ ‎19．（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．‎ ‎ （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；‎ ‎ （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数 和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．‎ 解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；‎ ‎（II）随机变量的取值为的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 www.‎ ‎20090423‎ ‎20．（本题满分15分）如图，平面平面，‎ 是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，‎ ‎，的中点，，．‎ ‎ （I）设是的中点，证明：平面；‎ ‎ （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．‎ 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，www.teso 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 ‎（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．www.tesoo ‎20090423‎ ‎21．（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．‎ ‎ （I）求椭圆的方程；‎ ‎ （II）设点在抛物线：上，在点处 的切线与交于点．当线段的中点与的中 点的横坐标相等时，求的最小值．‎ 解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，www.‎ ‎（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，‎ 设线段MN的中点的横坐标是，则，www.teso 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；‎ 当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将 代入不等式成立，因此的最小值为1．‎ ‎20090423‎ ‎22．（本题满分14分）已知函数，，‎ 其中．www..‎ ‎ （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎ （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由．‎ 解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 www.‎ ‎，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；www.teso ‎（II）当时有；‎ 当时有，因为当时不合题意，因此，‎ 下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；‎ 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；‎ 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．www..c