【数学】2020届一轮复习人教A版二项式定理易错点及赋值法妙用（文）学案

【数学】2020届一轮复习人教A版二项式定理易错点及赋值法妙用（文）学案

专题30 二项式定理易错点及赋值法妙用 一．【学习目标】‎ ‎1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．‎ ‎2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ 二．方法归纳 ‎1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C，而后者是指字母外的部分. ‎ ‎2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr＋1.‎ ‎3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.‎ ‎4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.‎ ‎5.近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项.‎ ‎6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”，“消去法”配合整除的有关知识来解决.‎ 三．【典例分析及训练】‎ ‎（一）求常数项 例1．若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数的值为（ ）‎ A．10 B．12 C．13 D．14‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为二项式展开式中的第5项是，‎ 因为第5项是常数，所以，即.‎ 故选B 练习1．若展开式的常数项为60，则值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为展开式的通项为，‎ 令，则，所以常数项为，即，所以.‎ 故选D 练习2．已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤8,则n=(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D ‎（二）求特殊项 例2.的展开式中的系数是 A．-5 B．10 C．-15 D．25‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 的通项公式为，其中r=0,1,2,3‎ 的通项公式为，其中r=0,1,2,3,4,5‎ ‎∴展开式中的系数是,‎ 故选：A ‎【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ 练习1．的展开式中的系数是( )‎ A．90 B． C．15 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，而的二项式系数满足 因而的系数为，故选B。 ‎ ‎（六）杨辉三角 例6．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)‎ A．26 B．27 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】第行和第行全是，已经出现了次，依题意，第行原来的数是，而为偶数，不合题意；第行原来的数是，即全为奇数，一共有个，全部转化为，这是第三次出现全为的情况.故选D.‎ ‎（七）求系数之和 例7．(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式中各项系数和为(　　)‎ A．2n+1 B．2n-1 C．2n+1-1 D．2n+1-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，代入表达式化简得，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查展开式各项系数和的求法，考查等比数列的前项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.要求展开式中各项的系数和，主要采用的是赋值法，也即是令，由此求得的结果就是各项系数的和.要在表达式中识别出等比数列，并利用等比数列的前项和公式进行求和.‎ 练习1．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令得，令得 ‎，故选：C．‎ 练习2． 的值为（ ）‎ A．0 B．2 C．－1 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，‎ 令，则，‎ 因此 ‎，选D.‎ 点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.‎ ‎（八）系数的绝对值 例8．设，则的值为 （ ）‎ A．－7 B． C．2 D．7‎ ‎【答案】D 练习1若，则（ ）‎ A． B．1 C．0 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.‎ 故答案为：D.‎ ‎（九）二项式定理综合 例9．在的展开式中，项的系数等于264，则等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】（a）12的展开式的通项为．‎ 由，得r＝10．∴，解得a＝﹣2（舍）或a＝2．‎ ‎∴（2x）dx（lnx+x2）ln2+4﹣ln1﹣1＝ln2+3．故选：B．‎ 练习1．已知，则等于 A．63 B．64 C．31 D．32‎ ‎【答案】A ‎【解析】逆用二项式定理得，即3n＝36，所以n＝6，‎ 所以.‎ 故选A. ‎ 练习2．已知函数, 则（ ）‎ A．0 B． C．1009 D．2018‎ ‎【答案】C ‎【解析】．‎ ‎∵，，，…．‎ ‎∴，，，…．‎ ‎∴，故选C．‎ 练习3．若(2x＋1)11＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则等于(　　)‎ A．0 B．1 C． D．12‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得，则，‎ 即，‎ 令，得，‎ 令，则，则；故选A.‎ ‎（十）计数原理与二项式 例10．的展开式中含的项的系数为（ ）‎ A．30 B．60 C．90 D．120‎ ‎【答案】B ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ 练习1．在的展开式中，记项的系数为，则＋＋ ＋＝(　)‎ A．45 B．60 C．120 D．210‎ ‎【答案】C ‎【解析】（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20； ‎ 含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；‎ 含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．‎ 故选：C．‎ 练习2．在的展开式中，含项的系数为（ ）‎ A．45 B．55 C．120 D．165‎ ‎【答案】D ‎【解析】的展开式中含项的系数为 故选D.‎ 练习3．的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，‎ 得含的项为，‎ 中的项为 系数为 故选B.‎ 练习4．（2015新课标全国卷I理科）的展开式中，的系数为 A．10 B．20 C．30 D． 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】的展开式的通项为令的通项为令则，的展开式中，的系数为=30.故选C．‎ ‎【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项式展开式中某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.‎ 练习5．二项式展开式的常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为=,‎ 所以，‎ 因此常数项为展开式中常数项：，选B.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎（十一）整除问题 例11．设n∈N+,则7+72+…+7n除以9的余数为 (　　)‎ A．0 B．2 C．7 D．0或7‎ ‎【答案】D ‎【解析】7 9,当为偶数时,余数为0,当为奇数时,余数为7，故选D.‎ 练习1．可以整除（其中）的是（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎.‎ 故能整除（其中）的是11.‎ 故选C . ‎ 练习2．除以的余数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】： ，‎ 即除以100的余数为41，故选B.学-科网 ‎（十二）数学文化 例12．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是 A．2015 B．2016 C．2017 D．2018‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：，结合二项式定理可得：‎ ‎，‎ 计算的数值如下表所示：‎ 底数 指数 幂值 ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎125‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎625‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3125‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎15625‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎78125‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎390625‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎1953125‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎9765625‎ 据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，‎ 所给选项中，只有2017除以8的余数为1，‎ 则的值可以是2017.‎ 本题选择C选项.‎ ‎（十三）导数与二项式 例13．展开式中， 项的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C