【数学】2018届一轮复习人教A版高考专题突破四高考中的立体几何问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版高考专题突破四高考中的立体几何问题学案

‎1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为________.‎ 答案　平行 解析　如图取B1C1的中点为F，连结EF，DF，DE，‎ 则EF∥A1B1，DF∥B1B，‎ ‎∴平面EFD∥平面A1B1BA，‎ ‎∴DE∥平面A1B1BA.‎ ‎2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：‎ ‎①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面.‎ 其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________.‎ 答案　②③‎ 解析　由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.‎ ‎3.(2016·无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为________.‎ 答案　66‎ 解析　如图，连结DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.‎ 故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.‎ ‎4.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱VC、VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则＝________.‎ 答案　2‎ 解析　连结AC交BD于点O，连结EO，取VE的中点M，连结AM，MF，∵VC＝3EC，∴VM＝ME＝EC，又AO＝CO，∴AM∥EO，又EO⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE，又AF∥平面BDE，AM∩AF＝A，∴平面AMF∥平面BDE，又MF⊂平面AMF，∴MF∥平面BDE，又MF⊂平面VBC，平面VBC∩平面BDE＝BE，∴MF∥BE，∴VF＝FB，∴＝2.‎ ‎5.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则直线PA与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC的位置关系是________.(填“平行”或“垂直”)‎ 答案　平行　垂直 解析　①因为D，E分别为棱PC，AC的中点，‎ 所以DE∥PA.‎ 又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，‎ 所以直线PA∥平面DEF.‎ ‎②因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，‎ 所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.‎ 又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，‎ 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.‎ 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.‎ 因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，‎ 所以DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，‎ 所以平面BDE⊥平面ABC.‎ 题型一　求空间几何体的表面积与体积 例1　(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.‎ ‎(1)证明：AC⊥HD′；‎ ‎(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′-ABCFE的体积.‎ ‎(1)证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.‎ ‎(2)解　由EF∥AC得＝＝.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3，‎ 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，‎ 故OD′⊥OH.‎ 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，‎ 所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，‎ 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.‎ 又由＝得EF＝.‎ 五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.‎ 所以五棱锥D′-ABCFE的体积V＝××2＝.‎ 思维升华　(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.‎ ‎(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ ‎　正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：‎ ‎(1)这个正三棱锥的表面积；‎ ‎(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.‎ 解　(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，‎ 则正棱锥侧面的斜高为＝.‎ ‎∴S侧＝3××2×＝9.‎ ‎∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2‎ ‎＝9＋6.‎ ‎(2)设正三棱锥P－ABC的内切球的球心为O，连结OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.‎ ‎∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC ‎＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r ‎＝(3＋2)r.‎ 又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2，‎ ‎∴(3＋2)r＝2，‎ 得r＝＝＝－2.‎ ‎∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.‎ V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.‎ 题型二　空间点、线、面的位置关系 例2　(2016·扬州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎(3)求三棱锥E－ABC的体积.‎ ‎(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，‎ BB1⊥底面ABC.‎ 因为AB⊂平面ABC，‎ 所以BB1⊥AB.‎ 又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，‎ 所以AB⊥平面B1BCC1.‎ 又AB⊂平面ABE，‎ 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)证明　方法一　如图1，取AB中点G，连结EG，FG.‎ 因为E，F分别是A1C1，BC的中点，‎ 所以FG∥AC，且FG＝AC.‎ 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，‎ 所以FG∥EC1，且FG＝EC1，‎ 所以四边形FGEC1为平行四边形，‎ 所以C1F∥EG.‎ 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，‎ 所以C1F∥平面ABE.‎ 方法二　如图2，取AC的中点H，连结C1H，FH.‎ 因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，‎ 又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，‎ 所以EC1綊AH，‎ 所以四边形EAHC1为平行四边形，‎ 所以C1H∥AE，‎ 又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，‎ 所以平面ABE∥平面C1HF，‎ 又C1F⊂平面C1HF，‎ 所以C1F∥平面ABE.‎ ‎(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，‎ 所以AB＝＝.‎ 所以三棱锥E－ABC的体积 V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.‎ 思维升华　(1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明C1F∥平面ABE：(ⅰ)利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直线EG，且满足C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化.‎ ‎(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化.‎ ‎　(2016·南京模拟)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.‎ 求证：(1)平面EFG∥平面ABC；‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ 证明　(1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点，‎ 则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，‎ 因此平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)由平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，‎ 所以AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.‎ 又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，‎ 又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.‎ 题型三　平面图形的翻折问题 例3　(2015·陕西)如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值.‎ ‎(1)证明　在题图1中，连结EC，‎ 因为AB＝BC＝AD＝a，∠BAD＝，‎ AD∥BC，E为AD中点，所以BC綊ED，BC綊AE，‎ 所以四边形BCDE为平行四边形，故有CD∥BE，‎ 所以四边形ABCE为正方形，所以BE⊥AC，‎ 即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，‎ 从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，‎ 所以CD⊥平面A1OC.‎ ‎(2)解　由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，‎ 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，‎ 又由(1)知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，‎ 即A1O是四棱锥A1BCDE的高，‎ 由题图1知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，‎ 从而四棱锥A1BCDE的体积为 V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，‎ 由a3＝36，得a＝6.‎ 思维升华　平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.‎ ‎　(2016·苏州模拟)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.‎ ‎(1)证明：CF⊥平面MDF；‎ ‎(2)求三棱锥M－CDE的体积.‎ ‎(1)证明　因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以PD⊥AD.‎ 又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，‎ 所以AD⊥平面PCD.‎ 又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.‎ 又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF.‎ ‎(2)解　因为PD⊥DC，PC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，‎ 所以PD＝，由(1)知FD⊥CF，‎ 在直角三角形DCF中，CF＝CD＝.‎ 如图，过点F作FG⊥CD交CD于点G，得FG＝FCsin 60°＝×＝，‎ 所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝，‎ 所以MD＝＝ ＝.‎ S△CDE＝DE·DC＝××1＝.‎ 故VM－CDE＝MD·S△CDE＝××＝.‎ 题型四　立体几何中的存在性问题 例4　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BMD1N与棱CC1，AA1分别交于点M，N，且M，N均为中点.‎ ‎(1)求证：AC∥平面BMD1N.‎ ‎(2)若AD＝CD＝2，DD1＝2，O为AC的中点.BD1上是否存在动点F，使得OF⊥平面BMD1N？若存在，求出点F的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎(1)证明　连结MN.因为M，N分别为CC1，AA1的中点，所以AN＝AA1，CM＝CC1.‎ 又因为AA1∥CC1，且AA1＝CC1，‎ 所以AN∥CM，且AN＝CM，‎ 所以四边形ACMN为平行四边形，所以AC∥MN.‎ 因为MN⊂平面BMD1N，AC⊄平面BMD1N，‎ 所以AC∥平面BMD1N.‎ ‎(2)解　当点F满足D1F＝3BF时，OF⊥平面BMD1N，证明如下：‎ 连结BD，则BD经过点O，取BD1的中点G，连结OF，DG，又D1F＝3BF，‎ 所以OF为三角形BDG的中位线，所以OF∥DG.‎ 因为BD＝2＝DD1，且G为BD1的中点，‎ 所以BD1⊥DG，所以BD1⊥OF.‎ 因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD.‎ 又DD1⊥底面ABCD，所以AC⊥DD1，‎ 又BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，‎ 又OF⊂平面BDD1，所以AC⊥OF.‎ 由(1)知AC∥MN，所以MN⊥OF.‎ 又MN，BD1是平面四边形BMD1N的对角线，所以它们必相交，所以OF⊥平面BMD1N.‎ 思维升华　对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.‎ ‎　(2016·镇江模拟)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.‎ ‎(1)求证：D1C⊥AC1；‎ ‎(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由.‎ ‎(1)证明　在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连结C1D，‎ ‎∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，‎ ‎∴DC1⊥D1C.‎ 又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，‎ ‎∴AD⊥平面DCC1D1，‎ 又D1C⊂平面DCC1D1，‎ ‎∴AD⊥D1C.‎ ‎∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，‎ ‎∴D1C⊥平面ADC1，‎ 又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.‎ ‎(2)解　假设存在点E，使D1E∥平面A1BD.‎ 连结AD1，AE，D1E，‎ 设AD1∩A1D＝M，‎ BD∩AE＝N，连结MN，‎ ‎∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，‎ 要使D1E∥平面A1BD，‎ 可使MN∥D1E，‎ 又M是AD1的中点，则N是AE的中点.‎ 又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.‎ 即E是DC的中点.‎ 综上所述，当E是DC的中点时，‎ 可使D1E∥平面A1BD.‎ ‎1.(2016·连云港模拟)如图所示，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β.A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且AD⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8.P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P－ABCD体积的最大值是________.‎ 答案　24 解析　由题意知，△PAD，△PBC是直角三角形，‎ 又∠APD＝∠BPC，所以△PAD∽△PBC.‎ 因为DA＝4，CB＝8，所以PB＝2PA.‎ 作PM⊥AB于点M，由题意知，PM⊥β.‎ 令AM＝t(0

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