2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题4 第1讲　排列、组合与二项式定理

2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题4 第1讲　排列、组合与二项式定理

专题复习检测 A卷 ‎1．(2018年天津模拟)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为(　　)‎ A．AA　　　 B．AC C．AA　　　 D．AC ‎【答案】A ‎【解析】不相邻问题用插空法，8名学生先排有A种排法，产生9个空，2位老师插空有A种排法，所以共有AA种排法．故选A．‎ ‎2．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是(　　)‎ A．152　 B．126　　‎ C．90　 D．54‎ ‎【答案】B ‎【解析】分两类：若有2人从事司机工作，则有CA＝18种；若有1人从事司机工作，则有CCA＝108种，所以共有18＋108＝126种．‎ ‎3．(2018年广西钦州三模)二项式n的展开式前三项系数成等差数列，则n＝(　　)‎ A．6　　　　 B．7　　‎ C．8　　　　 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】二项式n的展开式的通项是Tr＋1＝Cxn－rr＝rCxn－.由题意可得2·C·＝C＋C·，解得n＝1(舍去)，或n＝8.故选C．‎ ‎4．(2019年辽宁模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(　　)‎ A．30种　 B．50种　　‎ C．60种　 D．90种 ‎【答案】B ‎【解析】若甲同学选牛，则乙同学可以选狗或羊，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有2×10＝20种选法；若甲同学选马，则乙同学可以选牛、狗或羊，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有3×10＝30种选法．所以选法共有20＋30＝50种．故选B．‎ ‎5．(2019年四川模拟)从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为(　　)‎ A．7 200　 B．2 880　　‎ C．120　 D．60‎ ‎【答案】B ‎【解析】先选出5个数字(3奇2偶)，有CC＝60种选法，再将选出的5个数字排成五位偶数有CA＝48种排法，所以组成没有重复数字的五位偶数有60×48＝2 880个．故选B．‎ ‎6．(2017年上海)若排列数A＝6×5×4，则m＝________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】因为A＝6×5×…×(6－m＋1)，所以6－m＋1＝4，解得m＝3.‎ ‎7．(2019年上海)已知二项式(2x＋1)5，则展开式中含x2项的系数为________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】Tr＋1＝C(2x)5－r＝25－rCx5－r，令5－r＝2，得r＝3，故x2的系数为22×C＝40.‎ ‎8．若(1＋2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018(x∈R)，则－＋－＋…＋的值为________．‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】在(1＋2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018(x∈R)中，令x＝0，得a0＝1；再令x＝－，得a0－＋－＋…＋＝(1－1)2 018＝0，所以－＋－＋…＋＝－1.‎ ‎9．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男同学4人，女同学2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？‎ ‎(1)两个女同学必须相邻而站；‎ ‎(2)4名男同学互不相邻；‎ ‎(3)老师不站中间，女同学甲不站左端．‎ ‎【解析】(1)∵两个女同学必须相邻而站，∴把两个女同学看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女同学内部的一个排列共有AA＝1 440(种)站法．‎ ‎(2)∵4名男同学互不相邻，∴应用插空法，要老师和女同学先排列，形成四个空再排男同学共有AA＝144(种)站法．‎ ‎(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列，共有A＝720(种)站法，当老师不站左端时，老师有5种站法，女同学甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有A×5×5＝3 000(种)站法．根据分类加法计数原理知共有720＋3 000＝3 720(种)站法．‎ ‎10．若n展开式中前三项的系数成等差数列，求：‎ ‎(1)展开式中所有x的有理项；‎ ‎(2)展开式中系数最大的项．‎ ‎【解析】易求得展开式前三项的系数为1，C，C.‎ 据题意得2×C＝1＋C⇒n＝8.‎ ‎(1)设展开式中的有理项为Tk＋1，‎ 由Tk＋1＝C()8－kk＝kCx，‎ ‎∴k为4的倍数．又0≤k≤8，∴k＝0,4,8.‎ 故有理项为T1＝0Cx＝x4，‎ T5＝4Cx＝x，‎ T9＝8Cx＝.‎ ‎(2)设展开式中Tk＋1项的系数最大，则：kC≥k＋1C且kC≥k－1C⇒k＝2或k＝3.‎ 故展开式中系数最大的项为T3＝2Cx＝7x，T4＝3Cx＝7x.‎ B卷 ‎11．(2019年广东深圳模拟)已知5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)‎ A．－80　 B．－40　　‎ C．40　 D．80‎ ‎【答案】D ‎【解析】令x＝1，可得展开式中各项系数的和为(1＋a)(2－1)5＝2，解得a＝1，则5＝5＋5.其中5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r25－r·Cx5－2r，其中不含常数项，令r＝2得T3＝80x，所以该展开式中常数项为80.故选D．‎ ‎12．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　　)‎ A．72种　 B．48种 C．24种　 D．12种 ‎【答案】A ‎【解析】按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：用4种颜色涂，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；用3种颜色涂，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．‎ ‎13．(2019年浙江模拟)现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有______种．(结果用数字表示)‎ ‎【答案】336‎ ‎【解析】若不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有A种排法，再安排空盒，有CA种方法；若红球与黄球相邻，则4个小球有AA种排法，再安排空盒，有CA种方法．所以所求方法种数为ACA－AACA＝336.‎ ‎14．(2019年江苏)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知a＝2a2a4.‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a2－3b2的值．‎ ‎【解析】(1)由(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，‎ 可得a2＝C＝n(n－1)，a3＝C＝n(n－1)(n－2)，a4＝C＝n(n－1)(n－2)(n－3)．‎ 由a＝2a2a4，可得2＝2·n(n－1)·n(n－1)(n－2)(n－3)，‎ 化简得2(n－2)＝3(n－3)，解得n＝5.‎ ‎(2)方法一：‎ ‎(1＋)5＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5‎ ‎＝1＋5＋30＋30＋45＋9 ‎＝76＋44，‎ 又(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，‎ 所以a＝76，b＝44.‎ 所以a2－3b2＝762－3×442＝－32.‎ 方法二：‎ ‎(1＋)5＝a0＋a1＋a2()2＋a3()3＋a4()4＋a5()5＝a＋b，‎ 则(1－)5＝a0＋a1(－)＋a2(－)2＋a3(－)3＋a4(－)4＋a5(－)5＝a－b，‎ 可得(a＋b)(a－b)＝(1＋)5(1－)5，‎ 即a2－3b2＝(1－3)5＝－32.‎