【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-4直线与圆、圆与圆的位置关系作业

【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-4直线与圆、圆与圆的位置关系作业

课时跟踪检测（四十九） 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、题点全面练 ‎1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)‎ A．相离　　　　　　　 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 解析：选C　直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，‎ ‎∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，‎ ‎∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，‎ 直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．‎ ‎2．(2018·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)‎ A．2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0‎ C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0‎ 解析：选B　由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.‎ ‎3．(2019·六安模拟)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为(　　)‎ A．2 B.3‎ C．4 D．5‎ 解析：选A　将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故选A.‎ ‎4．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y－1)2＝6‎ B．(x－2)2＋(y－1)2＝22‎ C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22‎ D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32‎ 解析：选C　设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.圆心O1到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)‎ ‎2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.‎ ‎5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A．[2,6] B.[4,8]‎ C．[，3] D．[2，3]‎ 解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，‎ 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.‎ 由已知条件可得|AB|＝2，‎ 所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，‎ ‎△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.‎ 综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．‎ ‎6．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是__________________．‎ 解析：依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.‎ 答案：x－y＋1＝0‎ ‎7．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________．‎ 解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，圆心坐标为(a,0)(a＞0)，‎ 则由题意知2＋2＝(a－1)2，‎ 解得a＝3或－1(舍去)，‎ 故圆心坐标为(3,0)，‎ 因为圆心(3,0)在所求的直线上，‎ 所以3＋0＋m＝0，‎ 解得m＝－3，‎ 故所求的直线方程为x＋y－3＝0.‎ 答案：x＋y－3＝0‎ ‎8．已知直线x－y＋a＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥‎ BC，则实数a的值为________．‎ 解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，‎ 所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，‎ 由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，‎ 故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，‎ 由点到直线的距离公式可得＝，‎ 解得a＝0或a＝6.‎ 答案：0或6‎ ‎9．已知圆C经过点A(2，－1)，与直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ 解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，‎ 则＝.‎ 化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.‎ ‎∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.‎ ‎∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.‎ 综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.‎ ‎10．已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．‎ 解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，∴半径r＝|OC|.‎ ‎∵|OC|2＝t2＋，‎ ‎∴设圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋.‎ 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，则A(2t,0)．‎ 令x＝0，得y1＝0，y2＝，则B.‎ ‎∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，‎ 即△OAB的面积为定值．‎ ‎(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，‎ ‎∴OC垂直平分线段MN.‎ ‎∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程为y＝x.‎ ‎∴＝t，解得t＝2或t＝－2.‎ 当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，r＝|OC|＝，‎ 此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＜，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．‎ 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，r＝|OC|＝，‎ 此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＞，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4不相交．‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)‎ A．4 B.4 C．8 D．8 解析：选C　因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝，解得a＝5＋2或a＝5－2，可取C1(5＋2，5＋2)，C2(5－2，5－2)，故|C1C2|＝＝8，故选C.‎ ‎2．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为(　　)‎ A．4 B.3‎ C．2 D．1‎ 解析：选D　由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.‎ ‎3．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝4‎ C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37‎ 解析：选D　如图所示，∵A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)．‎ ‎∴过A，C的直线方程为＝，化为一般式为x＋2y－4＝0.点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝＞1，‎ 又|OA|＝＝，|OB|＝＝，|OC|＝＝.‎ ‎∴以原点为圆心的圆若与△ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径分别为1或，则圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.‎ ‎4．过点A(3,5)作圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_____________．‎ 解析：圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|CA|＝＝＞2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，即|3－2k|＝2，∴k＝，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.‎ 答案：5x－12y＋45＝0或x－3＝0‎ ‎5．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．‎ 解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，|MA|＝＝＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1,5]．‎ 答案：[1,5]‎ ‎(二)难点专练——适情自主选 ‎6．已知圆H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.‎ ‎(1)求圆H的方程；‎ ‎(2)若存在过点P(a,0)的直线与圆H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设圆H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r＞0)，‎ 因为圆H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，‎ 所以m＝2，n＝1.‎ 又圆H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.‎ 所以圆H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，‎ 所以M.‎ 因为M，N两点均在圆H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①‎ 2＋2＝2，‎ 即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②‎ 设圆I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，‎ 由①②知圆H与圆I有公共点，‎ 从而2－≤|HI|≤2＋，‎ 即≤≤3，‎ 整理可得2≤a2－4a＋5≤18，‎ 解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，‎ 所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3,2＋]．‎ ‎7．已知圆C经过点A，B，直线x＝0平分圆C，直线l与圆C相切，与圆C1：x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)求直线l的方程．‎ 解：(1)依题意知圆心C在y轴上，可设圆心C的坐标为(0，b)，圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．‎ 因为圆C经过A，B两点，‎ 所以2＋2＝2＋2，‎ 即＋－b＋b2＝＋－b＋b2，解得b＝4.‎ 则r2＝2＋2＝，‎ 所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x＝±，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，Q或P，Q，则·＝0，所以OP⊥OQ，满足题意．‎ 当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，‎ 设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 将直线l的方程与圆C1的方程联立，得消去y，整理得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，‎ 则Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－1)＝4(k2－m2＋1)＞0，‎ 即1＋k2＞m2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，‎ 又OP⊥OQ，所以·＝0，‎ 即x1x2＋y1y2＝＋＝0，‎ 故2m2＝1＋k2，满足Δ＞0，符合题意．‎ 因为直线l：y＝kx＋m与圆C：x2＋(y－4)2＝相切，‎ 所以圆心C(0,4)到直线l的距离d＝＝，‎ 即m2－8m＋16＝，故m2－8m＋16＝m2，得m＝2，‎ 故1＋k2＝8，得k＝±.‎ 故直线l的方程为y＝±x＋2.‎ 综上，直线l的方程为x＝±或y＝±x＋2.‎