【数学】2019届一轮复习人教A版理第5章第4节　数列求和教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第5章第4节　数列求和教案

第四节　数列求和 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．‎ ‎(对应学生用书第85页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．公式法 ‎(1)等差数列的前n项和公式：‎ Sn＝＝na1＋d；‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式：‎ Sn＝ ‎2．几种数列求和的常用方法 ‎(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．‎ ‎(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：‎ ‎①＝－；‎ ‎②＝；‎ ‎③＝－.‎ ‎(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．‎ ‎(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．‎ ‎(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12‎ ‎＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)‎ ‎(2)当n≥2时，＝.(　　)‎ ‎(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)‎ ‎(4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)‎ A．1　　 B． C． D． B　[∵an＝＝－，‎ ‎∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.]‎ ‎3．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于(　　)‎ A．9 B．99‎ C．10 D．100‎ B　[∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99，故选B．]‎ ‎4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________.‎ ‎9　[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]‎ ‎5．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.‎ ‎2n＋1－2＋n2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]‎ ‎(对应学生用书第85页)‎ 分组转化求和 ‎　(2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎[解]　(1)设等比数列{bn}的公比为q，‎ 则q＝＝＝3，‎ 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)．‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，‎ 所以1＋13d＝27，即d＝2.‎ 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.‎ 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.‎ 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1‎ ‎＝＋＝n2＋.‎ ‎[规律方法]　分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an ‎}的前n项和．‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎ 易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．‎ ‎[跟踪训练]　(2018·南昌一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n.‎ ‎[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，‎ ‎∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.‎ ‎∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)．‎ ‎∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)‎ ‎＝(－2)×n＝－2n.‎ 裂项相消法求和 ‎　(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和．‎ ‎[解]　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，‎ a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，‎ 两式相减得(2n－1)an＝2，‎ 所以an＝(n≥2)．‎ 又由题设可得a1＝2，满足上式，‎ 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)记的前n项和为Sn.‎ 由(1)知＝＝－，‎ 则Sn＝－＋－＋…＋－＝.‎ ‎[易错警示]　利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.‎ (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.‎ (3)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{an}是等差数列，则＝，＝.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·石家庄一模)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和. 【导学号：97190181】‎ ‎[解]　(1)由已知得 解得 所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ ‎(2)bn＝ ‎＝，‎ 所以Tn＝ ‎＝＝.‎ 错位相减法求和 ‎　(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设{an}的公比为q，‎ 由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，‎ 又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，‎ 所以an＝2n.‎ ‎(2)由题意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，‎ 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，‎ 所以bn＝2n＋1.‎ 令cn＝，则cn＝.‎ 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ‎＝＋＋＋…＋＋，‎ 又Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ 两式相减得 Tn＝＋－，‎ 所以Tn＝5－.‎ ‎[规律方法]　(1)错位相减法求和的适用范围 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.‎ (2)错位相减法求和的注意事项 ‎①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”‎ 以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.‎ ‎②在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·石家庄质检(二))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*). 【导学号：97190182】‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若数列{bn}满足＝log2bn(n∈N*)，求数列{(an＋6)·bn}的前n项和．‎ ‎[解]　(1)由已知得am＝Sm－Sm－1＝4，‎ 且am＋1＋am＋2＝Sm＋2－Sm＝14，‎ 设数列{an}的公差为d，‎ 则2am＋3d＝14，‎ ‎∴d＝2.‎ 由Sm＝0，得ma1＋×2＝0，‎ 即a1＝1－m，‎ ‎∴am＝a1＋(m－1)×2＝m－1＝4，‎ ‎∴m＝5.‎ ‎(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，‎ ‎∴an＝2n－6，‎ ‎∴n－3＝log2bn，得bn＝2n－3.‎ ‎∴(an＋6)·bn＝2n×2n－3＝n×2n－2.‎ 设数列{(an＋6)·bn}的前n项和为Tn，‎ ‎∴Tn＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，　①‎ ‎2Tn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，　②‎ ‎①－②，得－Tn＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1‎ ‎＝－n×2n－1‎ ‎＝2n－1－－n×2n－1，‎ ‎∴Tn＝(n－1)·2n－1＋(n∈N*)．‎